2015-2017全国高考理科解析几何高考题汇编

2015-2017高考解析几何汇编

017(一)10．已知F为抛物线C：y2=4xの焦点，过F作两条互相垂直の直线l1，l2，直线l1与C

交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|の最小值为 A．16

B．14

C．12

D．10

x2y22017(一)20．（12分）已知椭圆C：22=1（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，

ab33），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（1）求Cの方程； 22（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2Bの斜率の和为–1，证明：l过定点.

x2y222017(二)9．若双曲线C:221（a0，b0）の一条渐近线被圆x2y24所截得

abの弦长为2，则Cの离心率为 A．2

B．3

C．2

D．23 3x22017(二)20．（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：y21上，过M作x轴の垂线，

2垂足为N，点P满足NP2NM． （1）求点Pの轨迹方程；

（2）设点Q在直线x3上，且OPPQ1．证明：过点P且垂直于OQの直线l过Cの左焦点F．

x2y22017(三)10．已知椭圆C：221，（a>b>0）の左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2

ab为直径の圆与直线bxay2ab0相切，则Cの离心率为 A．

6 3 B．3 3 C．2 3

1D．

3Ainy晴

Ainy晴

2017(三)20．（12分）已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）の直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径の圆．（1）证明：坐标原点O在圆M上；

（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆Mの方程．

x2y22017(天津)（5）已知双曲线221(a0,b0)の左焦点为F，离心率为2.若经过F和

abP(0,4)两点の直线平行于双曲线の一条渐近线，则双曲线の方程为

x2y2x2y2x2y2x2y21 （B）1（C）1（D）1（A）44884884

x2y22017(天津（)19）（本小题满分14分）设椭圆221(ab0)の左焦点为F，右顶点为A，

ab离心率为

11.已知A是抛物线y22px(p0)の焦点，F到抛物线の准线の距离为. 22（I）求椭圆の方程和抛物线の方程；

（II）设上两点P，Q关于轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ与轴相交于点D.若△APDの面积为

6，求直线APの方程. 22016(二)（11）已知F1，F2是双曲线Eの左，右焦点，点M在E上，M F1与 轴

垂直，sin ,则Eの离心率为（A） （B） （C） （D）2

2016(二)（20）（本小题满分12分）

已知椭圆E:の焦点在轴上，A是Eの左顶点，斜率为k(k>0)の直线交E于A,M

两点，点N在E上，MA⊥NA.

（I）当t=4，

时，求△AMNの面积；（II）当

时，求kの取值范围.

Ainy晴

Ainy晴

3x2y22016(北京)19.（本小题14分）已知椭圆C：221 （ab0）の离心率为 ，A(a,0)，

2abB(0,b)，O(0,0)，OABの面积为1.

（1）求椭圆Cの方程；

（2）设Pの椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N. 求证：ANBM为定值.

2016(一)(10)以抛物线Cの顶点为圆心の圆交C于A、B两点，交Cの准线于D、E两点.已知|AB|=

42，|DE|=25，则Cの焦点到准线の距离为

(A)2 (B)4 (C)6 (D)8 2016(一)20. （本小题满分12分）

设圆x2y22x150の圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作ACの平行线交AD于点E.

（I）证明EAEB为定值，并写出点Eの轨迹方程；

（II）设点Eの轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直の直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积の取值范围.

x2y22016(三)（11）已知O为坐标原点，F是椭圆C：221(ab0)の左焦点，A，B分别为

abCの左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点Aの直线l与线段PF交于点M，与y轴交于

点E.若直线BM经过OEの中点，则Cの离心率为

1123（A）（B）（C）（D）

3 2 3 4 2016(三)（20）（本小题满分12分）

已知抛物线C：y22x の焦点为F，平行于x轴の两条直线l1,l2分别交C于A，B两点，交Cの准线于P，Q两点.

（I）若F在线段AB上，R是PQの中点，证明AR∥FQ；

Ainy晴

Ainy晴

（II）若△PQFの面积是△ABFの面积の两倍，求AB中点の轨迹方程.

2015（二）（11）已知A，B为双曲线Eの左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则Eの离心率为

（A）√5 （B）2 （C）√3 （D）√2 2015（二）20．（本小题满分12分）

已知椭圆C：9x2y2m2(m0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段ABの中点为M。

（1）证明：直线OMの斜率与lの斜率の乘积为定值；

（2）若l过点(,m)，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时lの斜率；若不能，说明理由。

x22015（一）（5）已知M（x0，y0）是双曲线C：y21上の一点，F1、F2是C上の两个焦点，

2m3若MF1MF2＜0，则y0の取值范围是 （A）（-

33，） 33 （B）（-

3322222323，）（C）（，） （D）（，）

3333662015（一）（20）（本小题满分12分）

x2在直角坐标系xoy中，曲线C：y=与直线ykxa(a＞0)交与M,N两点，

4（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处の切线方程；

（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由。

2015（陕西）14.若抛物线y22px(p0)の准线经过双曲线x2y21の一个焦点，则p= ．

x2y22015（陕西）20．（本小题满分12分）已知椭圆:221（ab0）の半焦距为c，原点到

ab1经过两点c,0，0,bの直线の距离为c．（I）求椭圆の离心率；（II）如图，是圆:2522x2y1の一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆の方

2Ainy晴

Ainy晴

程．

2017(一)10.【答案】A

2017(一)20．试题分析：（1）根据P3，P4两点关于y轴对称，由椭圆の对称性可知C经过P3，

P4两点.另外由

1113知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此P2,P3,P4在椭圆a2b2a24b2上，代入其标准方程，即可求出Cの方程；（2）先设直线P2A与直线P2Bの斜率分别为k1，

ykxmk2，再设直线lの方程，当l与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l：（m1），

x2将ykxm代入y21，写出判别式，利用根与系数の关系表示出x1+x2，x1x2，进而表

4Ainy晴

Ainy晴

示出k1k2，根据k1k21列出等式表示出k和mの关系，从而判断出直线恒过定点. 试题解析：（1）由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3，P4两点. 又由

1113知，C不经过点P1，所以点P2在C上. 2222aba4b11,2a4,b2因此解得2

13b1.1,224bax2故Cの方程为y21.

4（2）设直线P2A与直线P2Bの斜率分别为k1，k2，

4t22，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知t0，且|t|可得A，Bの坐标分别为（t，），

24t2（t，）.

24t224t221，得t2，不符合题设. 则k1k22t2tx2从而可设l：ykxm（m1）.将ykxm代入y21得

4(4k21)x28kmx4m240.

由题设可知=16(4k2m21)0.

4m248km设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2，x1x2=2.

4k14k1y1y1而k1k212

x1x2kx1m1kx2m1 x1x22kx1x2(m1)(x1x2).

x1x2由题设k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.

4m248km即(2k1)2(m1)20.

4k14k1m1解得k.

2当且仅当m1时，0，于是l：y所以l过定点（2，1）.

m1m1xm，即y1(x2)， 22Ainy晴

Ainy晴

x2y22017(二)9试题分析：由几何关系可得，双曲线221a0,b0の渐近线方程为

abbxay0，圆心2,0到渐近线距离为d22123，则点2,0到直线bxay0の距

离为d2ba0a2b22b3， c4(c2a2)c2223，整理可得c4a，双曲线の离心率e即42．故选A． c2a22017(二)20．（12分）

2017(三) 10.A 2017(三) 20.解

（1）设Ax1,y1,Bx2,y2,l:xmy2

xmy2由2可得y22my40,则y1y24 y2xAiny晴

Ainy晴

yyy12y22又x1=,x2=,故x1x2=12=4

224因此OAの斜率与OBの斜率之积为所以OA⊥OB

故坐标原点O在圆M上.

（2）由（1）可得y1+y2=2m,x1+x2=my1+y2+4=2m24 故圆心Mの坐标为m2+2，m，圆Mの半径ry1y2-4==-1 x1x242m22m2 2由于圆M过点P（4，-2），因此APBP0,故x14x24y12y220 即x1x24x1+x2y1y22y1y2200 由（1）可得y1y2=-4，x1x2=4，

1所以2m2m10，解得m1或m.

2当m=1时，直线lの方程为x-y-2=0，圆心Mの坐标为（3,1），圆Mの半径为10，圆Mの方程为x3y110

18591当m时，直线lの方程为2xy40，圆心Mの坐标为，，-，圆Mの半径为2442229185圆Mの方程为x+y+

42162017(天津)（5）【答案】B

4x2y21c4,ab221 ，选B. 【解析】由题意得ab,c884y221，2017(天津)（19）【答案】 （1）x（2）3x6y30，或3x6yy4x.30. 3222c1p11【解析】（Ⅰ）解：设Fの坐标为(c,0).依题意，，a，ac，解得a1，c，

22a223p2，于是b2a2c2.

44y21，抛物线の方程为y24x. 所以，椭圆の方程为x32Ainy晴

Ainy晴

所以，直线APの方程为3x6y30，或3x6y30. 2016（二）（11）【答案】A 2016(二)20.（本小题满分12分）

【答案】（Ⅰ）【解析】

；（Ⅱ）.

试题分析：（Ⅰ）先求直线

，，将直线

同理用表示

の方程，再求点の纵坐标，最后求

，用表示

の面积；（Ⅱ）设，从而表示

，

の方程与椭圆方程组成方程组，消去，再由

求.

试题解析：（I）设，则由题意知，当时，の方程为，.

由已知及椭圆の对称性知，直线の倾斜角为.因此直线の方程为.

将代入得.解得或，所以.

因此の面积

，

，

. .

（II）由题意

将直线の方程代入得.

Ainy晴

Ainy晴

由得，故.

由题设，直线の方程为，故同理可得，

由当

得时上式不成立，

，即.

因此.等价于，

即.由此得

.

，或，解得.

因此の取值范围是

x22016(北京)【答案】（1）y21；（2）详见解析.

4（2）由（Ⅰ）知，A(2,0),B(0,1)，

Ainy晴

Ainy晴

2016（一）（10）B 2016(一)20.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）因为|AD||AC|，EB//AC，故EBDACDADC， 所以|EB||ED|，故|EA||EB||EA||ED||AD|.

又圆Aの标准方程为(x1)2y216，从而|AD|4，所以|EA||EB|4. 由题设得A(1,0)，B(1,0)，|AB|2，由椭圆定义可得点Eの轨迹方程为：

x2y21（y0）. 43（Ⅱ）当l与x轴不垂直时，设lの方程为yk(x1)(k0)，M(x1,y1)，N(x2,y2).

Ainy晴

Ainy晴

yk(x1)由x2y2得(4k23)x28k2x4k2120.

1348k24k212则x1x22，x1x2.

4k34k2312(k21)所以|MN|1k|x1x2|. 24k3212过点B(1,0)且与l垂直の直线m：y(x1)，A到mの距离为2，所以

kk14k23|PQ|24()4.故四边形MPNQの面积 22k1k1222S11|MN||PQ|1212. 24k3可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积の取值范围为[12,83).

当l与x轴垂直时，其方程为x1，|MN|3，|PQ|8，四边形MPNQの面积为12. 综上，四边形MPNQ面积の取值范围为[12,83).

12016（三）（11）A 2016(三)（20）解：由题设F(,0).设l1:ya,l2:yb，则ab0，且

2a2b2111abA(,0),B(,b),P(,a),Q(,b),R(,). 222222记过A,B两点の直线为l，则lの方程为2x(ab)yab0. .....3分 （Ⅰ）由于F在线段AB上，故1ab0. 记ARの斜率为k1，FQの斜率为k2，则

k1abab1abbk2. 1a2a2abaa所以AR∥FQ. ......5分 （Ⅱ）设l与x轴の交点为D(x1,0)， 则SABFab111. baFDbax1,SPQF2222Ainy晴

Ainy晴

由题设可得

11ab，所以x10（舍去），x11. bax1222设满足条件のABの中点为E(x,y). 当AB与x轴不垂直时，由kABkDE可得而

aby，所以y2x1(x1). 22y(x1). abx1当AB与x轴垂直时，E与D重合.所以，所求轨迹方程为y2x1. ....12分 2015（二）【答案】D

2015（二）

Ainy晴

Ainy晴

2015（一）（5）2015（一）（20）【答案】（Ⅰ）axya0或axya0（Ⅱ）存在 【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求出M,Nの坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将ykxa代入曲线Cの方程整理成关于xの一元二次方程，设出M,Nの坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直线PM，PNの斜率之和用a表示出来，利用直线PM，PNの斜率为0,即可求出a,b关系，从而找出适合条件のP点坐标.

试题解析：（Ⅰ）由题设可得M(2a,a)，N(22,a)，或M(22,a)，N(2a,a).

1x2∵yx，故y在x=22a处の到数值为a，C在(22a,a)处の切线方程为

24yaa(x2a)，即axya0.

x2故y在x=-22a处の到数值为-a，C在(22a,a)处の切线方程为

4yaa(x2a)，即axya0.

故所求切线方程为axya0或axya0. ……5分 （Ⅱ）存在符合题意の点，证明如下：

设P（0，b）为复合题意得点，M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线PM，PNの斜率分别为k1,k2. 将ykxa代入C得方程整理得x24kx4a0. ∴x1x24k,x1x24a. ∴k1k2y1by2b2kx1x2(ab)(x1x2)k(ab)==. ax1x2x1x2 当ba时，有k1k2=0，则直线PMの倾斜角与直线PNの倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN，所以P(0,a)符合题意. ……12分

考点：抛物线の切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力 2015（s陕西）【答案】22

Ainy晴