2021年天津市部分区高考数学一模及答案

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{0，2}，C＝{﹣1，0，1}，则（A∩C）∪B＝（ ） A．{﹣1，0，1，2} B．{0，2}

C．{0，1，2}

D．{﹣1，0，2}

2．设x∈R，则“1＜x＜2”是“x2＜4”的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知a＝0.72021，b＝20210.7，c＝log0.72021，则a，b，c的大小关系为（ ） A．a＞b＞c

B．a＞c＞b

C．b＞a＞c

D．b＞c＞a

4．直线x﹣y+2＝0与圆（x+1）2+y2＝2相交于A，B两点，则|AB|＝（ ） A．

1 2B．

2 2C．

3 2D．6

5．天津市某中学组织高二年级学生参加普法知识考试（满分100分），考试成绩的频率分布直方图如图，数据（成绩）的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，若成绩低于60的人数是180，则考试成绩在区间[60，80）内的人数是（ ）

A．180

B．240

C．280

D．320

6．已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝x（x﹣1），则f（2）＝（ ） A．﹣6

B．6

C．﹣2

D．2

7．关于函数f（x）＝sin（2x+

6）有下述三个结论：

①f（x）的最小正周期是2π； ②f（x）在区间（

6，

2）上单调递减；

③将f（x）图象上所有点向右平行移动其中所有正确结论的编号是（ ） A．②

B．③

12个单位长度后，得到函数g（x）＝sin2x的图象．

C．②③ D．①②③

1

x2y28．已知抛物线y＝16x的焦点与双曲线C：221（a＞0，b＞0）的焦点F重合，C的渐近线恰为矩形OAFB

ab2

的边OA，OB所在直线（O为坐标原点），则C的方程是（ ）

x2y21 A．

124x2y21 C．

412x2y21 B．

3232x2y21 D．881|x2|1，x09．已知函数f（x）＝2，若存在实数a，b，c，当a＜b＜c时，满足f（a）＝f（b）＝f（c），

3x，x0则af（a）+bf（b）+cf（c）的取值范围是（ ） A．（﹣4，0）

B．（﹣3，0）

C．[﹣4，0）

D．[﹣3，0）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．

10．i是虚数单位，复数11．（x2+

1i＝ ． 2i25

）的展开式中x4的系数为 ． x12．甲、乙两人进行投篮比赛，设两人每次投篮是否命中相互之间不受影响，已知甲、乙两人每次投篮命中的概率分别是0.7，0.6．若甲、乙各投篮一次，则甲命中且乙未命中的概率为 ；若甲、乙各投篮两次，则甲比乙多命中一次的概率是 ．

13．已知正方体的所有顶点在一个球面上，若这个球的表面积为12π，则这个正方体的体积为 ． 14．设a＞0，b＞0，且5ab+b2＝1，则a+b的最小值为 ． 15．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝BC＝23， ∠ABC＝

D

C

3，且ADAC12，则AD= ，若M是线段AB

上的一个动点，则DMCM的取值范围是 ．

A

B

三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、推证过程或演算步骤． 16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝2bsinA． （1）求角B的大小；

（2）若角B为钝角，且b＝27，a＝3c，求c和sin2C的值．

2

17．已知{an}为等差数列，{bn}为公比大于0的等比数列，且b1＝1，b2+b3＝6，a3＝3，a4+2a6＝b5． （1）求{an}和{bn}的通项公式；

（2）记cn＝（2an﹣1）•bn+1，数列{cn}的前n项和为Sn，求Sn．

18．如图，在多面体ABCDEF中，AE⊥平面ABCD，AEFC是平行四边形，且AD∥BC，AB⊥AD，AD＝AE＝2，AB＝BC＝1．

（1）求证：CD⊥EF；

（2）求二面角A﹣DE﹣B的余弦值；

（3）若点P在棱CF上，直线PB与平面BDE所成角的正弦值为

3，求线段CP的长． 3

3x2y219．已知椭圆C：221（a＞b＞0）的短半轴长为1，离心率为．

2ab（1）求C的方程；

（2）设C的上、下顶点分别为B，D，动点P（横坐标不为0）在直线y＝2上，直线PB交C于点M，记直线DM，DP的斜率分别为k1，k2，求k1•k2的值．

20．已知函数f（x）＝x2﹣alnx，g（x）＝（a﹣2）x+b，（a，b∈R）． （1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，求a的值； （2）讨论f（x）的单调性；

（3）若关于x的方程f（x）＝g（x）在区间（1，+∞）上有两个不相等的实数根x1，x2，证明：x1+x2＞a．

3

2021年天津市部分区高考数学一模

参与试题解析

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．A

2．A

3．C

4．D

5．B 6．A 7．C 8．D 9．B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．

13i 11．40 12．0.28，0.3024 513．8 14． 15．4；[，18]

10．

三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、推证过程或演算步骤． 16．解：（1）∵a＝2bsinA， ∴由正弦定理可得sinA＝2sinBsinA， ∵sinA≠0， ∴sinB＝

1， 2由B∈（0，π），可得B＝

6，或

5． 65， 6（2）由（1），若角B为钝角，可得B＝∵b＝27，a＝3c，

∴由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得28＝3c2+c2﹣2×3c×c×（﹣可得a＝23，

3），整理解得c＝2， 2a2b2c2122843217∴cosC＝，可得sinC＝1cos2C，

142ab1422327可得sin2C＝2sinCcosC＝2×

732133． 14141417．解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q（q＞0），

b1(qq2)6qq26q2由题设可得：，即，解得：， 44d13d2(33d)qa3d2(a33d)b1q∴bn＝2n1，an＝a3+（n﹣3）d＝3+n﹣3＝n；

﹣

（2）由（1）可得：cn＝（2n﹣1）•2n， ∴Sn＝1×21+3×22+5×23+…+（2n﹣1）•2n，

又2Sn＝1×22+3×23+…+（2n﹣3）•2n+（2n﹣1）•2n+1，

4

两式相减得：﹣Sn＝2+2（2+2+…+2）﹣（2n﹣1）•2整理得：Sn＝（2n﹣3）•2n+1+6．

23nn+1

22(12n1)＝2+2×﹣（2n﹣1）•2n+1，

1218．解：∵AE⊥平面ABCD，所以AE⊥AD、AE⊥AB，又因为AB⊥AD， ∴AD、AB、AE两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系，

A（0，0，0），B（0，1，0），D（2，0，0），E（0，0，2），C（1，1，0），F（1，1，2）， （1）证明：∵CD＝（1，﹣1，0），EF＝（1，1，0），所以CDEF＝1﹣1＝0， ∴CD⊥EF；

（2）∵平面ADE的法向量为m＝（0，1，0），平面BDE的一个法向量为（取平面BDE的法向量n＝（1，2，1），又因为二面角A﹣DE﹣B为锐角，

11，1，）， 22mn∴二面角A﹣DE﹣B的余弦值为mn2166； 3（3）设PC＝t，则P（1，1，t），PB＝（﹣1，0，﹣t），由（2）知平面BDE的法向量n＝（1，2，1），

PBn∴直线PB与平面BDE所成角的正弦值为PBn∴CP长为1．

1t1t263，解之得t＝1， 3

19．解：（1）∵短半轴长为1，离心率为

3， 2b1c3∴e，

a2222abc解得a2＝4，b2＝1，

5

x22

∴椭圆的方程为+y＝1．

4（2）由题意可知直线PM的斜率存在且不为0， 设直线PM的方程为y＝kx+1，

ykx1联立x2，得（1+4k2）x2+8kx＝0， 2y148k解得x＝0或x＝，

14k28k14k2∴xM＝，yM＝kxM+1＝，

14k214k2ykx11联立，解得 x＝，

ky2∴P（

1，2）， kym1kxm224k211∴k1＝kDM＝， kkxmxmxm4k4kk2＝kDP＝

31k13∴k1k2＝•3k＝．

4k420．（1）解：f′（x）＝2x﹣

＝3k，

a，f′（1）＝2﹣a， x∵曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直， ∴2﹣a＝0，解得a＝2．

2x2aa（2）解：f′（x）＝2x﹣＝，x＞0，

xx当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增； 当a＞0时，令f′（x）＜0，解得0＜x＜令f′（x）＞0，解得x＞∴f（x）在（0，

2a， 22a， 22a2a）上单调递减，在（，+∞）上单调递增． 22（3）证明：方程f（x）＝g（x），即x2﹣（a﹣2）x﹣alnx＝b在（1，+∞）上有两个不相等的实数根x1，x2，

2x1(a2)x1alnx1b设1＜x1＜x2，则2，两式相减得x12﹣x22﹣（a﹣2）（x1﹣x2）﹣a（lnx1﹣lnx2）＝0，

x2(a2)x2alnx2bx2x1x22x2∴a＝1，

x1x2lnx1lnx2

6

22x2x1x22x2要证x1+x2＞a，只需证x1+x2＞1，

x1x2lnx1lnx2∵1＜x1＜x2，所以x1+lnx1＜x2+lnx2，

即需证x12+2x1﹣x22﹣2x2＞（x1+x2）（x1+lnx1﹣x2﹣lnx2），

22x11)2(x1x2)x1x2整理得lnx1﹣lnx2＜，即证ln＜，

x1x1x2x212(x2令t＝

x1x，t∈（0，1）， 2令h（t）＝lnt﹣2(t1)t1，h′（t）＝(t1)2t(t1)2＞0，∴h（t）在（0，1）上单调递增， ∴h（t）＜h（1）＝0， ∴x1+x2＞a，得证． 7