直线和圆的方程练习

江阴二中 刘桂饶

说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答。共100分，考试时间90分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共30分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1。若命题“曲线C上的点的坐标满足方程f（x，y）=0”是正确的，则下列命题中正确的是

A。方程f（x，y）=0表示的曲线一定是曲线C B。坐标满足方程f（x，y）=0的点一定在曲线C上 C。方程f（x，y）=0表示的曲线不一定是曲线C

D。曲线C是坐标满足方程f（x，y）=0的点的轨迹

2。直线l将圆x2+y2－2x－4y=0平分，且与直线x+2y=0垂直，则直线l的方程为 A。y=2x C。y=－

12 x+

32

B。y=2x－2 D。y=

12x+

32

3。到两个坐标轴距离之差的绝对值等于2的点的轨迹是 A。2条直线 B。4条直线 C。4条射线

D。8条射线

4。方程|x|－1=1(y1)2表示的曲线是

A。一个圆 B。两个半圆 C。一个半圆 D。两个圆

5。方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a－1=0表示圆，则a的取值范围是 A。（－∞，－2） C。（－2，0）

B。（－

23，2）

23D。（－2，）

6。若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则点P（a，b）的位置是 A。在圆上 C。在圆内

B。在圆外 D。都有可能

7。两条曲线y=a|x|和y=x+a（a>0）有两个不同的公共点，则a的取值范围是 A。a>1 B。0C。 D。01

8。圆x2+y2－4x+2y+c=0与直线x=0交于A、B两点，圆心为P，若△PAB是正三角形，则 C的值为

A。C。

1313

B。－D。－

4334339。与圆x2+y2－4x+2y+4=0关于直线x－y+3=0对称的圆的方程是 A。x2+y2－8x+10y+40=0 B。x2+y2－8x+10y+20=0 C。x2+y2+8x－10y+40=0 D。x2+y2+8x－10y+20=0

10。曲线y=1+4x2（－2≤x≤2）与直线y=k（x－2）+4有两个交点时，实数k的取值范 围是

A。［

512，+∞）

512

B。（D。（

51213，，

54］ ］

C。（0，）

34第Ⅱ卷（非选择题 共70分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

11。圆心在直线2x－y－7=0上的圆C与y轴交于两点A（0，－4）、B（0，－2），则圆C的方 程为__________。

12。已知曲线y=kx+1与x+y+kx－y－9=0的两个交点关于y轴对称，则k=__________，交点坐标为__________。

13。动圆x2+y2－bmx－2（m－1）y+10m2－2m－24=0的圆心轨迹方程是__________。

14。已知两点M（1，－

2

2

2

2

54）、N（－4，

2

2

54），给出下列曲线方程:①2x+y－1=0；②2x－

4y+3=0；③x+y=3；④（x+3）+y=1。

在曲线上存在P点满足|PM|=|PN|的所有曲线方程是__________。

三、解答题（本大题共5小题，共54分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15。（本小题满分8分）圆经过点A（2，－3）和B（－2，－5）。 （1）若圆的面积最小，求圆的方程；

（2）若圆心在直线x－2y－3=0上，求圆的方程。 16。（本小题满分10分）光线l过点P（1，－1），经y轴反射后与圆C:（x－4）2+（y－4）2=1相切，求光线l所在的直线方程。

17。（本小题满分12分）求通过原点且与两直线l1:x+2y－9=0，l2:2x－y+2=0相切的圆的 方程。 18。（本小题满分12分）已知定点A（4，0）和圆x2+y2=4上的动点B，点P分AB之比为 2∶1，求点P的轨迹方程。 19。（本小题满分12分）已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证:圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半。

答案及提示

1、解析:命题“曲线C上的点的坐标满足方程f（x，y）=0”只是曲线与方程概念中的条件之一，所以曲线C与f（x，y）=0不等价。 答案:C

2、解析:圆心为（1，2），直线l过点（1，2）且斜率为2，得方程y=2x。 答案:A

3、解析:设动点M为（x，y），则||x|－|y||=2|x|－|y|=±2。 当x≥0，y≥0时，x－y=±2； 当x≤0，y≤0时，－x+y=±2； 当x≥0，y≤0时，x+y=±2； 当x≤0，y≥0时，－x－y=±2。 答案:D

4、分析:化简方程为已知曲线。

解:原方程化为|x|≥1，x2－2|x|+1=1－（y－1）2， 即（x±1）2+（y－1）2=1。

答案:B

5、分析:注意二元二次方程表示圆的条件。

解:根据x2+y2+2Dx+2Ey+F=0表示圆，需D2+E2－F>0，得（即－223a2）2+a2－（2a2+a－1）>0，

。

答案:D

6、分析:本题主要考查直线与圆的位置关系。 解:依题意

|1|ab22<1，得a2+b2>1，故P点在圆外。

答案:B

7、分析:利用数形结合判断曲线交点情况。 解:∵y=x+a的斜率为1，在y轴上的截距a>0，

∴要使其与y=a|x|这条折线有两个不同的公共点，需a>1。 答案:A

8、分析:本题考查直线截圆所得弦长问题，一般用几何法较简单。 解:圆心（2，－1）到x=0的距离为2，设圆的半径为r， 则r2=∴c=答案:A

9、分析:本题考查有关对称的问题。

主要依据两点:（1）对称点连线垂直于对称轴；

（2）两对称点连线的中点在对称轴上，对于特殊的对称轴解法较易。 解:因x2+y2－4x+2y+4=0的圆心坐标O1（2，－1），半径r1=1，点O1（2，－1）关于直线x－y+3=0的对称点为O′（－4，5），

13163，∴c+5=

163。

。

所以，要求得的圆的方程为（x+4）+（y－5）=1，即x+y+8x－10y+40=0。 答案:C 10、

yPT2222

BOCx 512解析:利用几何图形所示，由数形结合的方法知，当且仅当kPT＜k≤kPB，即两曲线有两个交点。 答案:B

11、分析:本题考查圆的方程的求法，确定圆心和半径。 解:设圆C的方程为（x－x0）2+（y－y0）2=r2。 ∵圆心在直线2x－y－7=0上， ∴2x0－y0－7=0。 又∵圆过A（0，－4）、B（0，－2），

∴x0+（4－y0）=r， ②

x0+（－2－y0）=r。 ③

x02,由①②③解得y03,

r5.2

2

2

2

2

2

＜k≤

54时，

①

∴圆的方程为（x－2）2+（y+3）2=5。

22

答案:（x－2）+（y+3）=5

12、解析:关于y轴对称的两个交点在直线y=kx+1上，∴k=0，y=1。代入x2+y2+kx－y－9=0，得x=9，x=±3，故交点是（±3，1）。

答案:0 （±3，1）

13、分析:本题考查轨迹方程的求法，注意对变量m的限制条件。 解:圆的方程可化为（x－3m）2+［y－（m－1）］2=25。 不论m取何实数，方程都表示圆。 设动圆圆心为（x0，y0），则x03m,y0m1.2

消去参变量m，得x0－3y0－3=0， 即动圆圆心的方程为x－3y－3=0。 答案:x－3y－3=0

14、解析:到M、N距离相等的点在MN的垂直平分线2x+y+3=0上，②③与平分线有交点。

答案:②③

15、（1）解:要使圆的面积最小，则AB为圆的直径，所以所求圆的方程为 （x－2）（x+2）+（y+3）（y+5）=0，即x+（y+4）=5。 （2）解法一: 因为kAB=12，AB中点为（0，－4），所以AB中垂线方程为y+4=－2x，即2x+y+4=0，解方程组2xy40,x2y30,2

2

得x1,y2.

所以圆心为（－1，－2）。根据两点间的距离公式，得半径r=10，因此，所求的圆的方程为（x+1）2

+（y+2）2

=10。

解法二:所求圆的方程为（x－a）2+（y－b）2=r2，根据已知条件得

(2a)2(3b)2r2a1,(2a)2(5b)2r2b2, a2b30r210.所以所求圆的方程为（x+1）2+（y+2）2=10。 16、解:设l与y轴的交点（即反射点）为Q，点P关于y轴的对称点为P′由光学知识可知直线P′Q为反射线所在的直线，且为圆C的切线。 设P′Q的方程为y+1=k（x+1），即kx－y+k－1=0， 由于圆心C（4，4）到P′Q的距离等于半径长，

∴

|4k4k1|或k=

3k2=1。解得k=

4134。

由l与P′Q关于y轴对称可得l的斜率为－4或－334，

∴光线l所在的直线方程为y+1=－43（x－1）或y+1=－34（x－1），

即4x+3y－1=0或3x+4y+1=0。

17、解:∵圆与l1、l2相切，故圆心的轨迹在l1与l2的夹角平分线上。 ∵k1=－

12，k2=2，k1²k2=－1，

∴l1⊥l2。

设l1与l2的夹角平分线为l，其斜率为k，故l与l2夹角为45°。

1∴|2k1|=1。

12k∴k=－3或k=

13 （舍去）。

3abl:3x+y－7=0，设圆心（a，b），则70,2|2abab22|. 51，－1）。（－解得ab22a,2,5或 1b31.5225故圆方程为（x－2）2+（y－1）2=5或（x－18、分析:设点P（x，y）、B（x0，y0），由

）2+（y+

315）2=

2895。

APPB=2，找出x、y与x0、y0的关系。

利用已知曲线方程消去x0、y0得到x、y的关系。 解:设动点P（x，y）及圆上点B（x0，y0）。

42x0x,AP12∵λ==2，

PB2y0y,123x4x,02∴ y3y.02代入圆的方程x2+y2=4 得（

3x4243）+

2

9y42=4， 。

43即（x－

）2+y2=

169∴所求轨迹方程为（x－

）2+y2=

169。

19、分析:如下图所示，选择互相垂直的两条对角线所在的直线为坐标轴。本题关键是

求出圆心O′的坐标。过O′作AC的垂线，垂足为M，M是AC的中点，垂足M的横坐标与O′的横坐标一致。同理可求出O′的纵坐标。

yBCONMO'EDAx 证明:如上图所示，以四边形ABCD互相垂直的对角线CA、DB所在直线分别为x轴、y轴，建立直角坐标系。设A（a，0），B（0，b），C（c，0），D（0，d）。

过四边形ABCD外接圆的圆心O′分别作AC、BD、AD的垂线，垂足分别为M、N、E，则M、N、E分别是线段AC、BD、AD的中点，由线段的中点坐标公式，得

xO=xM=

ac2bd22，yO=yN=

ac2a2，xE=

d2a2，yE=

12d2。

所以|O′E|=(2)(b2d2)=

2bc22。

又|BC|=b2c2， 所以|O′E|=

12|BC|。