ＣＨＵＺＨｏＮＧＳＨＥＮＧＳＨｌＪｌＥ 运用“轴对称’’解决最短路径问题 刘军 在学习“轴对称图形”时，我们经常会 枞Ｑ＋ＱＢ与ＡＰ＋ＰＢ的大小，并说明理由． 遇到与最短路径有关的问题，同学们往往 【解析】（１）由点 与点 关于直线ｚ成 在处理这类问题时感到困难．这类问题通 轴对称可知ＰＢ＝ＰＢ ，则Ａ日 ＝ＡＰ＋ＰＢ ＝ＡＰ＋ 常会转化成“两点之间，线段最短”来解决， ＰＢ．（２）利用“三角形任意两边之和大于 而轴对称的性质是实现这一转化的有效 第三边”及（１）的结论可知，ＡＱ＋ＱＢ＞ＡＢ ＝ 方法之一．只要我们能把握轴对称的性 ＡＰ＋船． 。 质，那么问题便迎刃而解． 这个问题还可以进一步说明直线Ｚ上 在苏科版八（上）“轴对称图形”一章的 的点Ｐｌ；宦使得线段ＰＡ＋ＰＢ的和最小． 课后习题中就有这 下面再通过对几个最短路径问题的分 样一个问题：如图１， 析，帮助同学们熟悉并掌握这类问题的解 点Ａ、曰在直线Ｚ同 题策略，真正能做到融会贯通，一通百通． 侧，点 是点 关于 一、已知两点在一条直线的同一侧 Ｚ的对称点，ＡＢ 交Ｚ 图１ 例１（将军饮马）古希腊一位将军要 于点 （１）ＡＢ 与ＡＰ＋ＰＢ相等吗？为什么？ 地出发到河边（如下图删）去饮马，然 （２）在Ｚ上再取一 ＡＱ，并连接ＡＱ和ＱＢ，比 后再回到驻地 ．问怎样选择饮马地点Ｐ， 点Ａ关于Ｚ的对称 国道 、ＯＢ的距离相等，到Ｇ厂、Ｄ厂的距 点，本题就是要使 离也相等，请在图中画出货站Ｐ的位置． Ａ Ｐ与船的和最小． （要求：用圆规直尺作图，保留作图痕迹，不 显然当Ａ 、Ｐ、Ａ三点 写已知、求作和作法） 在同一直线上时， 图５ 【分析】根据货站Ｐ至Ｕ两条国道ＯＡ、ＯＢ Ａ Ｐ一与船的和最小．因此，线黝 Ｂ与直线ｚ 的距离相等，可知货站ｅ－４ｚ厶４ ＯＢ的角平分 的交点Ｐ的位置即为所求． 线上；根据货站Ｐ到Ｃ厂、Ｄ厂的距离也相 解：作点Ａ关于Ｚ的对称点４ ，连接４ 曰 等，可知货站Ｐ在 交Ｚ于点Ｐ，则点Ｐ即为所求． 线段ＣＤ的垂直平 例４如图６，两 分线上．因此，分 条国道ＯＡ、ＯＢ在我 别作出 ＡＯＢ的 市交汇于点Ｏ，在 平分线以及ＣＤ的 ＤＢ的内部Ｃ、Ｄ 垂直平分线，交点 处各有一个工厂． 即是Ｐ点的位置． 图７ 现要修建一个货站 Ｄ Ｂ 解：如图７图６ ，点Ｐ即为所求． Ｐ，使货站Ｐ到两条 （作者单位：江苏省无锡市天一实验学校） ６０ Ｔ ｎｔｅ…ｇｅｎｔ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ １■慧数掌 点Ｐｌ、Ｐ２，Ｐ１ Ｐ２分别交ＯＡ、ＯＢ于点Ｅ、Ｆ，由轴 路 一 恫 对称的性质可知：ＰＥ＝Ｐ１Ｅ， ＝Ｐ２Ｆ，即得 △咫Ｆ的周长等于Ｐ１ Ｐ２，此时ＡＰＥＦ的周长 最小． ；／ 三、已知两点在两条相交直线的内部 图２ 图３ 例３某中学八（１）班的班会课上，桌 【解析】先确定点Ａ或点Ｂ中一个点关 子摆成如图８所示两直排（图中的ＯＡ、ＯＢ）， 于直线ＭＮ的对称点，然后连接对称点和另 ＯＡ桌面上摆满了苹果，ＯＢ桌面上摆满了糖 一个点，与直线ＭＮ的交点Ｐ且ｆ】为所求的点． 果，站在ｃ处的学生小明先拿苹果再拿糖 【变式训练】已知 果，然后到Ｄ处座位上，请你帮助他设计一 点Ｐ、Ｑ是ＡＡＢＣ的边 条行走路线，使其所走的总路程最短． ＡＢ、ＡＣ上的点，你能在 Ｃｌ ｈ、 ＢＣ上确定一点Ｒ。使 △ＰＱ 的周长最短吗？ 图４ 【点拨】ＡＰＱＲ的周长等于ＰＱ＋ＰＲ＋ＱＲ， 因为Ｐｐ的长度不变，所以只要线ｆ￣ｔ．ＰＲ＋ＱＲ 的和最小，就能使△ Ｒ的周长最短． ＝、已知一点在两条相交直线的内部 图８ 图９ 例２如图５，ＯＡ、ＯＢ是两条相交的公 【解析】如图９，作Ｃ点关于ＯＡ的对称 路，点Ｐ是一个邮电所，现想在ＯＡ、ＯＢ上各 点Ｃ ，作Ｄ点关于ＯＢ的对称点Ｄ ；连接Ｃ Ｄ，， 设立一个投递点，要想使邮递员每次投递 分别交ＯＡ、ＯＢ于点Ｐ、Ｑ，则由轴对称的性 路程最近，问投递点应设在何处？ 质得：ＣＰ＋ＰＱ＋ＱＤ＝Ｃ１Ｐ＋ＰＱ＋ＱＤｌ＝Ｃ１Ｄ１．故 ０ Ｄ 小明沿ｃ＿＋ Ｑ— 的路线行走，所走的总 路程最短． 【变式训练】已知 ｝Ｐ 、Ｂ ／ＭＯＮ内两点Ａ、Ｂ，请 图６ 你在ＯＭ、０Ｎ上分别找 【解析】如图６，点Ｐ１、Ｐ２分别是点联于 一点Ｃ、Ｄ，使得Ａ Ｃ＋ＣＤ＋ Ｄ Ⅳ 直线ＯＡ、ＯＢ的对称点．由轴对称的性质可 ＢＤ＋Ａ 最短． 图１０ 知：ＰＭ＝Ｐ￣Ｍ，ＰＮ＝Ｐ２Ｎ，因此邮递员每次投 【点拨】分别作点Ａ、日关于ＯＭ、ＯＮ的 递的路程就等于Ｐ ＋删＋Ｐ２Ⅳ＝Ｐ】１＂２，所以 对称点Ａ 、Ｂ ，连接Ａ ，分别交伽、ＯＮ于 当投递点分别设立在ＯＡ、ＯＢ上点 、Ⅳ处 点ｃ、Ｄ，即得点Ｃ、Ｄ就是所求的两点． 时，邮递员每次投递路程最近． 利用“轴对称”解决最短路径问题的关 【变式训练】如图７， ／ 键是根据轴对称的性质，将不在一条直线的 已知 ＯＢ内有一点Ｐ， ／ ．ｐ 线段转化到同一条直线上，然后用“两点之 试分别在边ＯＡ和ＯＢ上 ／ 间，线段最短”来解决．解决这类问题，还需 各找一点Ｅ、 使得ＡＰＥＦ． —————＿＿： 要认真审题，不仅要注意图形，而且要重视 的周长最小，不需说明理由． 图７ 问题的要求，才能够有效地解决此类问题． 【点拨】分别作点联于ＯＡ、ＯＢ的对称 （作者单位：江苏省无锡市天一实验学校） ６１ Ｔ ｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ １■麓数攀
