第 16 讲 (11/12/04)
中子与物质相互作用：Q方程，弹性散射
参考书目：
R. D. Evan, Atomic Nucleus (McGraw-Hill New York, 1955), Chap. 12.
W. E. Meyerhof, Elements of Nuclear Physics (McGraw-Hill, New York, 1967), Sec. 3.3.
由于中子不带电荷，所以它很容易进入到原子核内部并且发生反应。中子主要与原子中的原子核发生相互作用，在特殊情况下会发生磁散射，磁散射过程所发生的相互作用与中子自旋以及原子磁矩有关。由于本课程不涉及磁散射的内容，所以我们可以忽略中子与电子之间的相互作用，认为原子和原子核与中子的作用是相同的。任何能量的中子都能与原子发生反应，所以我们必须对相互作用截面随能量的变化给予足够的重视。核反应堆产生的中子所带有的能量从10
−3
eV（1 meV）到10eV（10 MeV）不等，这就意味着中子的能量有1010 数量级的跨度。
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对于一个特定的能量区域，如热能区、超热能区、共振能区、快中子能区，并不是所有可能发生的反应都同等重要。一个反应是否重要取决于靶核的种类以及中子的能量。核反应种类很多，按照理论上从简单到复杂，重要的核反应一般包括：
(n,n)——弹性散射。其中包含两个过程：势散射和共振散射。势散射是中子在原子核表面与其发生的相互作用（并未穿透原子核），类似于两个台球的碰撞。而共振散射与复合核的形成与衰变有关。
(n,γ)——辐射俘获。
(n,n’)——非弹性散射。这种反应涉及到核能级的激发。 (n,p)，(n,α)，……——发射带电粒子。 (n,f)——裂变。
如果我们对裂变反应堆感兴趣，那么反应堆中发生的反应按重要性大小的次序排列是裂变、俘获（在核燃料及其它反应堆材料中）、散射（弹性和非弹性）、裂变产物发生的β 衰变，后者与中子发射以及热能的产生过程有关。本章中我们主要学习弹性散射（势散射）。其它与复合核的形成相关的反应，将会在本学期结束前作简要讨论。
1
Q方程
考虑如图15.1所示的核反应，一个入射粒子（标记为粒子1）撞击一个靶核（2），从而导致出射粒子（3）的发射以及剩余核（4）的反冲。
图15.1 入射粒子1和处于静止的靶核2发生两体碰撞，产生沿θ角出射的粒子3，
并导致剩余核4 发生反冲。
为便于计算与分析，假设靶核2是静止的，即E2＝0 。通常这种近似是正确的，这是因为当靶处于室温条件下，其动能E2 是0.025 eV，除非入射中子处于热能区，否则其动能E1的值远大于我们将通过系统总能量守恒以及动量守恒，并利用非相对论运动学建立起出射能量E3与E2的值。
出射角度θ的关系式，
(E1+M1c2)+M2c2=(E3+M3c2)+(E4+M4c2) (15.1)
GGG
p1=p3+p4 (15.2)
动量守恒还可以写成
GG2
p4=(p1−p3)2
=p1+p3−2p1p3cosθ=2M4E4 (15.3)
而反应能为
2
2
Q=(M1+M2−M3−M4)c2
=E3+E4−E1 (15.4)
可以得到
2
⎛⎛M3⎞M1⎞2
⎟⎟⎜ Q=E3⎜−1−E1−+1⎜⎟⎜M4⎟⎠⎝M4⎠M4⎝
M1M3E1E3cosθ (15.5)
上式称为Q方程。注意到能量Ei 和角度θ 是实验室坐标系（LCS）中的物理量，而Q值却与坐标系无关（因为Q是以质量为变量的表达式，而质量又是与坐标系无关联的量）。一种典型的情况就是，当入射能量和各粒子的质量全部已知时（因此Q值也相应得出），人们往往会根据已知的cosθ值利用（15.5）式求解能量E3的值，或反之。
等式(15.5)实际上并不是决定Q值的方程，因为人们必须事先知道反应中的四个粒子以及它们的静止质量才可进行求解。在这种情况下，人们可以通过解方程(15.5)来得到哪个量呢？我们可以把Q方程看作是在任何两体碰撞问题中连接12个自由度（速度分量）的关系式，在这种两体碰撞问题中，两个粒子（作为反应物）发生碰撞产生另外两个粒子（作为反应产物）。当四个粒子的速度（共12个自由度，每个速度有3个自由度）确定下来时，这个问题就完全确定了。并非每一个自由度都是我们所感兴趣的变量，这一点是毫无疑问的。首先，入射粒子的入射方向和能量始终是给定的，因此就可以解除3个自由度。其次，由于人们习惯于将靶核看作是静止的，所以另外3个自由度也被解除。因为在任何碰撞中都遵守能量守恒以及动量守恒（由于动量和能量是相关联的，这相当于3个已知条件），所以在这个问题里就只剩下3个自由度了。如果进一步假设出射粒子（粒子3）的出射方向是方位角对称的（也就是说，出射粒子的速度与方位角φ无关），那么就只剩下2个自由度了。这也就意味着，只需要确定一个自由度，碰撞的结果就会完全确定下来。那么选用哪个作为变量呢？由于我们通常对出射粒子的能量和方向感兴趣，所以选择E3或者散射角θ作为最后一个变量。换句话说，如果我们知道E3或者θ的值，那么有关碰撞的其它任何量（能量和方向）都会确定下来。因此，很自然地把（15.5）式转变成E3与θ之间的关系式。
上面是我们利用非相对论公式对运动学进行的描述。为了将（15.5）式转变成相对论Q方程，我们只需要用有效质量来代替静止质量，Mi
eff
=Mi+Ti/2c2，并且用表达式
p2=2MT+T2/c2代替p2=2ME。对于光子，我们取Meff=hν/2c2。
考察（15.5）式，它是一个二次方程式，变量为x=的方程有两个根，
E3。众所周知，形式为ax2+bx+c=0
3
x±=[−b±b2−4ac]/2a (15.6)
这就意味着，Q方程通常有两个可能的解，±
E3。对于一个物理上可接受的解，它必
须是实数，并且为正数。因此就有如下几种情况：Q方程有一个解、两个解、或者是没有物理上可接受的解。[参见Evans, pp. 413-415, Meyerhof, p. 178] 。我们的目的是要了解中子碰撞，特别是中子弹性散射（Q = 0）和非弹性散射(Q < 0)的情况。以下将简要地分析这两个过程，然后对实验室坐标系和质心坐标系中的弹性散射进行详细的讨论。
弹性散射与非弹性散射
弹性散射是中子相互作用中最简单的过程，人们可以详细分析这个过程。弹性散射过程非
常重要，因为它是中子在反应堆中损失能量的主要途径。整个过程从核裂变产快中子起，直到中子慢化成为热中子为止。在这种情况下，核能级并未受到激发，Q ＝0，中子损失的能量全部被受到反冲的靶原子核获得。
令M1=M3=m(Mn)，以及M2=M4=M=Am。那么（15.5）式变为
1⎞1⎞2⎛⎛
E3⎜1+⎟−E1⎜1−⎟−E1E3cosθ=0 （15.7）
AAA⎝⎠⎝⎠
请考虑，在什么条件下E3=E1成立？可以看出，仅在θ ＝0时，式E3=E1才能成立，这对应前向散射过程（并未发生相互作用）。对于所有给定的θ 角，E3都必须小于E1。可以证明角θ =π时中子的能量损失最大，这种情况就是背散射，
E3=αE1,
⎛A−1⎞
α=⎜⎟ （15.8）
A+1⎝⎠
2
（15.7）式是分析中子在慢化剂物质中减速过程的基础。本讲稍后会加以分析。
非弹性散射是入射中子使靶原子核受激的过程，靶核由基态被激发到激发态，能量为E*。
因此有Q = –E* (其中E* > 0) 。假设中子质量为m，靶核质量为M（基态）或者M*（激发态），激发态质量满足M*＝M＋E*/c。由于该反应的Q值为负，所以这是一个吸收能量的过程，并且要求有相应的能量供应才能发生反应。在散射过程中，获得能量的唯一方法就是将入射粒子（中
2
4
子）的一部分动能转化为这部分能量。请思考，发生反应所要求的最小能量（称为反应阈能）应该是多少？为了找出这个值，请考虑这样一种情况，出射粒子并未获得能量，E3 ~ 0并且θ ~ 0. 那么由（15.5）式得出
⎛M4−M1⎞
⎟ −E*=−Eth⎜⎜M⎟， 或者 Eth~E*(1+1/A) （15.9） 4⎝⎠
我们已经在这里规定E1的最小值为Eth。因此，可以看出发生反应所需要的最小动能始终大于原子核的激发能。那么Eth和E*之差到哪里去了呢？答案是，变成了质心运动的能量，入射粒子（处于实验室坐标系）的部分动能必须提供给质心运动能，这部分能量对引起核反应是无效的。
出射能量与散射角的关系
我们返回到弹性散射情况下的Q方程，以获得出射中子的能量E3和散射角θ 之间的一个关系式。再次将（15.5）式看作以E3为变量的二次方程式，就会有
E3−
解的形式为：
2A−1
E1E3cosθ−E1=0 （15.10）
A+1A+1
E3=
1
E1[cosθ+(A2−sin2θ)1/2] （15.11）
A+1
虽然上式并不简单，但它是一个E3与θ 之间很好的关系式（E1固定）。这个等式表明了这两个变量之间一一对应的关系。这就是前文所说的“问题简化到一个自由度”的含义。只要给定E3与θ 两者之一，立即可得到另外一个量。之所以说（15.11）式并不简单，是因为我们还可以得到能量与散射角之间的另外一个关系式，其中的散射角是质心坐标系（CMCS）中的散射角θ c，而不是实验室坐标系（LCS）中的散射角θ 。为了找出这个简单的关系式，先回顾一下这两种坐标系之间的关系。
实验室坐标系和质心坐标系之间的关系
考虑图（15.2）的情况，入射中子、靶原子核以及出射中子与反冲核的速度如图所示。图
5
GGG
中分别用小写与大写字母表示实验室坐标系和质心坐标系中的速度，所以我们有Vi=vi−v0，
GG
其中v0=[1/(A+1)]v1为质心的运动速度。质心坐标系中的散射角记为θc。可以看出：在实验
室坐标系中，质心沿着入射中子的方向运动（靶核静止）；而在质心系中，靶核向着质心运动，
GGG而质心静止。可以看出，质心系中弹性碰撞后的速度与碰前速度大小相同，从V1到V3，从V2到
G
V4，而碰前与碰后的速度方向不同。
图15.2 (a)和(b)分别表示在实验室坐标系和质心坐标系中的弹性散射， (c)表示在实验室坐标系和质心坐标系中碰撞后的速度向量之间的几何关系。
图15.1中的(c)对得出实验室系和质心系中的速度、角度关系非常有用。出射速度v3和质心系散射角θ c之间的关系或许最为重要。可以写出:
11GG2
mv3=(V3+v0)2
22
=
122
m(V3+v0+2V3v0cosθc) （15.12）
2
6
或者
E3=
1
E1[(1+α)+(1−α)cosθc] （15.13）
2
其中α=[(A−1)/(A+1)]2。与（15.11）式相比，（15.13）式更便于计算。这两个关系式必然是等价的，因为在推导任何一个等式的过程中都未采取近似。对（15.11）式两边取平方得，
E3=
1
E1[cos2θ+A2−sin2θ+2cosθ(A2−sin2θ)1/2] (15.14) 2
(A+1)
为了证明式（15.13）和（15.14）等价，我们需要利用散射角θ和θc之间的关系式。通过图15.1（c）可以写出
cosθ=(v0+V3cosθc)/v3 =
1+AcosθcA+1+2Acosθc
2
(15.15)
（15.13）、15.14）、（15.15）式都表明了能量与角度或角度与角度之间一一对应的关系，这些关系式可以把一个变量转换为另一个变量。在下面的章节中，将讨论中子发生弹性散射时的能量分布和角分布在不同坐标系之间的关系。
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