证明圆的切线经典例题

证明圆的切线常用的方法有：

一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.

例1 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.

求证：EF与⊙O相切. 证明：连结OE，AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=BC， ∴∠3=∠4.

⌒ ⌒ ，∠1=∠2. ∴BD=DE

又∵OB=OE，OF=OF， ∴△BOF≌△EOF（SAS）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF与⊙O相切， ∴OB⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF与⊙O相切.

说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的

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例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 证明一：作直径AE，连结EC. ∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E， ∴∠1=∠E

∵AE是⊙O的直径， ∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA.

∴PA与⊙O相切.

证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴BE=CE⌒ ⌒ ，

∴OE⊥BC.

∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE, ∴∠1+∠PAD=900 即OA⊥PA.

∴PA与⊙O相切

说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.

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例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切. 证明一：连结OD. ∵AB=AC， ∴∠B=∠C.

∵OB=OD， ∴∠1=∠B.

D ∴∠1=∠C. ∴OD∥AC. ∵DM⊥AC，

∴DM⊥OD. ∴DM与⊙O相切

证明二：连结OD，AD.

∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=AC,

∴∠1=∠2. ∵DM⊥AC，

∴∠2+∠4=900 ∵OA=OD， ∴∠1=∠3. ∴∠3+∠4=900. 即OD⊥DM. ∴DM是⊙O的切线

C 说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.

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例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.

求证：DC是⊙O的切线 证明：连结OC、BC. ∵OA=OC， ∴∠A=∠1=∠300. ∴∠BOC=∠A+∠1=600. 又∵OC=OB，

D ∴△OBC是等边三角形. ∴OB=BC. ∵OB=BD， ∴OB=BC=BD. ∴OC⊥CD.

∴DC是⊙O的切线.

说明：此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好. 例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP. 求证：PC是⊙O的切线. 证明：连结OC

∵OA2=OD·OP，OA=OC， ∴OC2=OD·OP，

OCODOPOC. 又∵∠1=∠1， ∴△OCP∽△ODC. ∴∠OCP=∠ODC. ∵CD⊥AB， ∴∠OCP=900. ∴PC是⊙O的切线.

说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的

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例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F. 求证：CE与△CFG的外接圆相切.

分析：此题图上没有画出△CFG的外接圆，但△CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点O，连结OC，证明CE⊥OC即可得解.

证明：取FG中点O，连结OC.

∵ABCD是正方形，

∴BC⊥CD，△CFG是Rt△ ∵O是FG的中点， ∴O是Rt△CFG的外心. ∵OC=OG， ∴∠3=∠G， ∵AD∥BC， ∴∠G=∠4.

∵AD=CD，DE=DE，

∠ADE=∠CDE=450， ∴△ADE≌△CDE（SAS） ∴∠4=∠1，∠1=∠3. ∵∠2+∠3=900, ∴∠1+∠2=900.

即CE⊥OC.

∴CE与△CFG的外接圆相切

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二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”

例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点. 求证：AC与⊙D相切.

证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足. ∵AB是⊙D的切线，

∴DE⊥AB. ∵DF⊥AC， ∴∠DEB=∠DFC=900. ∵AB=AC， ∴∠B=∠C.

又∵BD=CD，

∴△BDE≌△CDF（AAS） ∴DF=DE. ∴F在⊙D上. ∴AC是⊙D的切线

证明二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.

∵AB与⊙D相切， ∴DE⊥AB.

∵AB=AC，BD=CD， ∴∠1=∠2.

∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF. ∴F在⊙D上. ∴AC与⊙D相切.

说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.

例8 已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900. 求证：CD是⊙O的切线.

证明一：连结OA，OB，作OE⊥CD，E为垂足.

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∵AC，BD与⊙O相切， ∴AC⊥OA，BD⊥OB.

∵AC∥BD，

∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800. ∵∠COD=900， O ∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900. ∵∠4+∠5=900. ∴∠1=∠5.

∴Rt△AOC∽Rt△BDO. ∴

ACOCOBOD. ∵OA=OB，

∴

ACOCOAOD. 又∵∠CAO=∠COD=900， ∴△AOC∽△ODC， ∴∠1=∠2.

又∵OA⊥AC，OE⊥CD, ∴OE=OA. ∴E点在⊙O上.

∴CD是⊙O的切线.

证明二：连结OA，OB，作OE⊥CD于E，延长DO交CA延长线于F. ∵AC，BD与⊙O相切， ∴AC⊥OA，BD⊥OB. ∵AC∥BD， ∴∠F=∠BDO. 又∵OA=OB，

∴△AOF≌△BOD（AAS） ∴OF=OD. ∵∠COD=900，

∴CF=CD，∠1=∠2.

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又∵OA⊥AC，OE⊥CD， ∴OE=OA. ∴E点在⊙O上. ∴CD是⊙O的切线.

证明三：连结AO并延长，作OE⊥CD于E，取CD中点F，连结OF. ∵AC与⊙O相切， ∴AC⊥AO. ∵AC∥BD， ∴AO⊥BD.

∵BD与⊙O相切于B，

∴AO的延长线必经过点B. ∴AB是⊙O的直径.

∵AC∥BD，OA=OB，CF=DF，

∴OF∥AC， ∴∠1=∠COF.

∵∠COD=900，CF=DF， ∴OF1CDCF. 2∴∠2=∠COF. ∴∠1=∠2.

∵OA⊥AC，OE⊥CD， ∴OE=OA. ∴E点在⊙O上. ∴CD是⊙O的切线

说明：证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2，这种方法必需先证明A、O、B三点共线.

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