【小学精品奥数】三角形等高模型与鸟头模型(一).学生版

4-3-1.三角形等高模型与鸟头模型

例题精讲

板块一 三角形等高模型

我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高2

从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；

这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高

1同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的，则三角

3形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．

在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图S1:S2a:b

ABS1aS2bCD

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S△ACDS△BCD； 反之，如果S△ACDS△BCD，则可知直线AB平行于CD．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的

三角形；⑶6个面积相等的三角形．

【例 2】 如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上．

⑴ 求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？ ⑵ 求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？

ABDC

【例 3】 如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴

影部分的面积是 平方厘米．

AEBF

DC

【巩固】(2009年四中小升初入学测试题)如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部

分的面积是 平方厘米．

【巩固】如下图，长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD，长方形ABCD的长是20，

宽是12，则它内部阴影部分的面积是 ．

AB

FDEC

【例 4】 如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的

中点，H为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积．

AEBHDGAEB

HDGFCFC

【巩固】图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那

么阴影部分的面积是 ．

ADGEBFCEBFA631G2CHD

【例 5】 长方形ABCD的面积为36，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影

部分面积是多少？

AHDEGBFC

A(H)DAHDEGEG

【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对

边三等分，分别与P点连接,求阴影部分面积．

ADA(P)DADBFC

BFCPPBC

【例 6】 如右图，E在AD上，AD垂直BC，AD12厘米，DE3厘米．求三角形ABC的面积

是三角形EBC面积的几倍？

A

BC

BC

EBDC

【例 7】 如图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与△BEC等

积的三角形一共有哪几个三角形？

FADEBC

【巩固】如图，在△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE，那么与△ABE等积的

三角形一共有哪几个三角形？

AE

【巩固】如图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？

AOBCDBDC

【例 8】 如图，三角形ABC的面积为1，其中AE3AB，BD2BC，三角形BDE 的面积是多

少？

BBEAEACDCD

【例 9】 如右图，ADDB，AEEFFC，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC的面积

是 平方厘米．

BD

BDAEFC

AEFC

【巩固】图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍，EF的长是BF 长的3倍．那么三角形AEF的面积是多少平方厘米？

AEFB

【巩固】如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB24厘米，BC8厘米，求三角形ZCY的面积．

DCDZAYCB

【巩固】如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点．求三角形DEF的面积．

AFBDEC

【巩固】如图，在三角形ABC中，BC8厘米，高是6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那

么三角形EBF的面积是多少平方厘米？

AEBFC

【例 10】 如图所示，A、B、C都是正方形边的中点，△COD比△AOB大15平方厘米。△AOB的面积为 平方厘米。

CAOBDE

【例 11】 如图ABCD是一个长方形，点E、F和G分别是它们所在边的中点．如果长方形的面积

是36个平方单位，求三角形EFG的面积是多少个平方单位．

GGCCDDEAFBEFB

【巩固】如图，长方形ABCD的面积是1，M是AD边的中点，N在AB边上，且2ANBN.那么，

阴影部分的面积是多少？

ANBCMDANBCMD

A

【例 12】 如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个

小长方形组合而成．求阴影部分的面积．

A12cm236cm2B36cm2NM12cm248cm224cm248cm2

【例 13】 图中ABCD是个直角梯形(∠DAB=∠ABC=90°)，以AD为一边向外作长方形ADEF，其

面积为6.36平方厘米。连接BE交AD于P，再连接PC。则图中阴影部分的面积是( )平方厘米。

FAPED

24cm2CD

BC(A)6.36 (B)3.18 (C)2.12 （D）1.59

【例 14】 如图，BC是半径为6的圆O上的弦，且BC的长度与圆的半径相等，A是圆外的一点，

（π3.14） OA的长度为12，且OA与BC平行，那么图中阴影部分的面积是 。BCOA

【巩固】在下图中，A为半径为3的⊙0外一点。弦BC∥A0且BC=3。连结AC。阴影面积等于 .(=3.14)

CBOA

【例 15】 如图，三角形ABC中，DC2BD，CE3AE，三角形ADE的面积是20平方厘米，

三角形ABC的面积是多少？

AEBDC

【例 16】 如图，在三角形ABC中，已知三角形ADE、三角形DCE、三角形BCD的面积分别是

，28，26．那么三角形DBE的面积是 ．

BD

AEC

【例 17】 如图，梯形ABCD被它的一条对角线BD分成了两部分．三角形BDC的面积比三角形

ABD的面积大10平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米．求梯形ABCD的面积．

AADDh

BC

【例 18】 图中AOB的面积为15cm2，线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积．

AOBCD

BEC

【例 19】 如图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．

DABCDA

【例 20】 一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形

面积是21cm2．问：长方形的面积是多少平方厘米？

黄红绿红

A′BC

【例 21】 已知OBC的面积是5cm2，OAB的面积是2cm2，求OBDO是长方形ABCD内一点，

的面积是多少？

DA

OPB

【例 22】 如右图，过平行四边形ABCD内的一点P作边的平行线EF、GH，若PBD的面积为8

平方分米，求平行四边形PHCF的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米？

AEPFGDC

AEPGDFBHC

BHC

【例 23】 如右图，正方形ABCD的面积是20，正三角形BPC的面积是15，求阴影BPD的面

积．

AAPDPDO

【巩固】如右图，正方形ABCD的面积是12，正三角形BPC的面积是5，求阴影BPD的面积．

BC

BCAAPDPDO

【例 24】 在长方形ABCD内部有一点O，形成等腰AOB的面积为16，等腰DOC的面积占长方

形面积的18%，那么阴影AOC的面积是多少？

DOCBC

BCAB

【例 25】 如右图所示，在梯形ABCD中，E、F分别是其两腰AB、CD的中点，G是EF上的

7任意一点，已知ADG 的面积为15cm2，而BCG的面积恰好是梯形ABCD面积的，

20则梯形ABCD的面积是 cm2．

ADFADFEGEGBC

【例 26】 如图所示，四边形ABCD与AEGF都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．

BC

FABGDECFABGDEC

【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？

EAFDGCBFAEB

【例 27】 如图，正方形ABCD的边长为6，AE＝1.5，CF＝2．长方形EFGH的面积为 ．

HAEDG

DGC

BFC

【例 28】 如图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果ADE的面积为4平方厘米．求三角形

CDF的面积．

DFAEBCDFC

【巩固】如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S△ADE1，

求△BEF 的面积．

AEB

CEDABCEFDAB

【例 29】 梯形ABCD中，AE与DC平行，SABE15,SBCF .

AFBCD

F

E

【例 30】 图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平

方厘米．

【例 31】 如图，有三个正方形的顶点D、G、K恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB的边长

为10厘米，求阴影部分的面积．

DCGQFOHEKPDCGQFOHEKPA

【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积．

BABABGEDF4CABGEDF4C

【巩固】如图，ABCD与AEFG均为正方形，三角形ABH的面积为6平方厘米，图中阴影部分的

面积为 ．

DCDCFHGEFHE

【巩固】正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？

DDAAGHBCFEABGABGHFE

BC

【巩固】已知正方形ABCD边长为10，正方形BEFG边长为6，求阴影部分的面积．

AFGJDAFGIJDIBECH

【例 32】 于CF的三分之一，三角形CHG的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF的面积．

BECH

FEFEADHADH

【例 33】 如下图，E、F分别是梯形ABCD的下底BC和腰CD上的点，DFFC，并且甲、乙、

丙3个三角形面积相等．已知梯形ABCD的面积是32平方厘米．求图中阴影部分的面积．

BCG BCGA乙DF甲BE丙C

【例 34】 如图，已知长方形ADEF的面积16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，

那么三角形ABC的面积是多少？

AFCAFCAFCD

BE

DBEDBE

【例 35】 如图，在平行四边形ABCD中，BEEC，CF2FD．求阴影面积与空白面积的比．

AHFGBECD

【例 36】 如图所示，三角形ABC中，D是AB边的中点，E是AC边上的一点，且AE3EC，O为DC与BE的交点．若CEO的面积为a平方厘米，BDO的面积为b平方厘米．且ba是2.5平方厘米，那么三角形ABC的面积是 平方厘米．

ADbB

OaEC

【例 37】 如图，在梯形ABCD中，AD:BE4:3，BE:EC2:3，且BOE的面积比AOD的面

积小10平方厘米．梯形ABCD的面积是 平方厘米．

ADOBEC【巩固】如图，BD是梯形ABCD的一条对角线，线段AE与DC平行，AE 与BD相交于O点．已

2知三角形BOE的面积比三角形AOD的面积大4平方米，并且ECBC．求梯形ABCD的

5面积．

AODAODBEC

【例 38】 如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49．那

么图中阴影部分的面积是多少？

BEC

A4935DEB13C

【例 39】 图中是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形．将它的短直角边对

折到斜边上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米？

【例 40】 如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC2DE，F是DG的中点．阴影部分的

面积是多少平方厘米？

AFBGDEC

【例 41】 如图，三角形田地中有两条小路AE和CF，交叉处为D，张大伯常走这两条小路，他

知道DFDC,且AD2DE．则两块地ACF和CFB的面积比是_________．

CEDFAABCEDFBCEDGABF

【例 42】 如图，BC45，AC21，ABC被分成9个面积相等的小三角形，那么

DIFK ．

BDEGAHJKCIF

【巩固】如图，在角MON的两边上分别有A、C、E及B、D、F六个点，并且OAB、ABC、

BCD、CDE、DEF的面积都等于1，则DCF的面积等于 ．

NFDBOACEM

【例 43】 E、M分别为直角梯形ABCD两边上的点，且DQ、CP、ME彼此平行，若AD5，

BC7，AE5，EB3．求阴影部分的面积．

AQEBPDMAQEC

DMBPC

【例 44】 已知ABC为等边三角形，面积为400，D、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、

丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)

A甲乙IJMBNH丙EDFC

【例 45】 如图，已知CD5，DE7，EF15，FG6，线段AB将图形分成两部分，左边部

分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG的面积是 ．

A

ACDBEFGCDBEFG

【巩固】如图，点D、E、F在线段CG上，已知CD2厘米，DE8厘米，EF20厘米，FG4厘米，AB将整个图形分成上下两部分，下边部分面积是67平方厘米，上边部分面积是166平方厘米，则三角形ADG的面积是多少平方厘米？

GGFF

AEBAEBDCDC

【例 46】 如图，正方形的边长为10，四边形EFGH的面积为5，那么阴影部分的面积是 ．

AHEGDAMHENDGBFC

AHEGD

BFC

【巩固】如图，正方形的边长为12，阴影部分的面积为60，那么四边形EFGH的面积是 ．

AMHENDGBFC

【例 47】 如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，AB8，AD15，四边形

EFGO的面积为 ．

BFC

ADOEBFGC

【巩固】如图所示，矩形ABCD的面积为24平方厘米．三角形ADM与三角形BCN 的面积之和

为7.8平方厘米，则四边形PMON的面积是 平方厘米．

DMOAPNC

【巩固】如图所示，矩形ABCD的面积为36平方厘米，四边形PMON的面积是3平方厘米，则阴

影部分的面积是 平方厘米．

BDMOAPNC

【巩固】如图，长方形ABCD的面积是36，E是AD的三等分点，AE2ED，则阴影部分的面积

为 ．

BAOBEDAMOBEND

【例 48】 如图，如果长方形ABCD的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ的面积是多少平方

厘米？

D2MQ3C5PAN6BD2M3P35Q3CC

C

【例 49】 如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为10cm的正方形，则阴影部分四边形的面积

AN6B

是 cm2．

DH4cmGCNMFPQABE

【巩固】如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为12厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积

是多少平方厘米？

1cmDH4cmGCNMFBPQ2cm

【巩固】已知正方形的边长为10，EC3，BF2，则S四边形ABCD ．

A

B

D

F

DAMNBF

AE

【例 50】 如图，三角形AEF的面积是17，DE、BF的长度分别为11、3．求长方形ABCD的面

积．

ECECABFAHGMBFD

EC

DEC

【例 51】 如图，长方形ABCD中，AB67，BC30．E、F分别是AB、BC边上的两点，

BEBF49．那么，三角形DEF面积的最小值是 ．

DCFDNMOECFA

EB

AB

【例 52】 ABCD是边长为12的正方形，如图所示，P是内部任意一点，BLDM4、

BKDN5，那么阴影部分的面积是 ．

APNLBA(P)LBAPNLBKNKKDMC

【例 53】 如图所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是ABCD各边的中点，求阴影部

分与四边形PQRS的面积之比．

DHAPESRBFGQESRCBFAPGQHD

DMC

DMC

【巩固】如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，FG与FH交于点O，S1、S2、

S3及S4分别表示四个小四边形的面积．试比较S1S3与S2S4的大小．

CDGCS4S3B

DFGCS4S3BFS1HOS2AES1HOS2AE

【例 】 如图，四边形ABCD中，DE:EF:FC3:2:1，BG:GH:AH3:2:1，AD:BC1:2，

已知四边形ABCD的面积等于4，则四边形EFHG的面积 ．

EDFCDEFCA

【拓展】如图，对于任意四边形ABCD，通过各边三等分点的相应连线，得到中间四边形EFGH，

求四边形EFGH的面积是四边形ABCD的几分之几？

BNMAKFEJHDOGPCHGBAHGB

【例 55】 有正三角形ABC，在边AB、BC、CA的正中间分别取点L、M、N，在边AL、BM、

CN上分别取点P、Q、R，使LPMQNR，当PM和RL、PM和QN、QN和RL

的相交点分别是X、Y、Z时，使XYXL．这时，三角形XYZ的面积是三角形ABC的面积的几分之几？请写出思考过程．

APLXBQYMZNRC

【例 56】 如图：已知在梯形ABCD中，上底是下底的

2，其中F是BC边上任意一点，三角形3 AME、三角形BMF、三角形NFC的面积分别为14、20、12．求三角形NDE的面积．

ABABMEFNDCDEMFNCh

SBEF24cm2，【例 57】 如图，已知ABCD是梯形，AD∥BC，AD:BC1:2，SAOF:SDOE1:3，

求AOF的面积．

AFOEBCBDFhAOEDC

【例 58】 如图，ABCD是一个四边形，M、N分别是AB、CD的中点．如果ASM、MTB与

DSN的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD的面积为 ．

DASMTCNDASMTCNBB

【例 59】 直角边长分别为18厘米,10厘米的直角△ABC和直角边长分别为14厘米,4厘米的直角

△ADE如图摆放．M为AE的中点，则△ACM的面积为 平方厘米．

【例 60】 如右图，过平行四边形ABCD内的一点P作边的平行线EF、GH，若PAC的面积为6，

求平行四边形PGDF的面积比平行四边形PEBH的面积大 ．

AGDEB

PHCF

【例 61】 如图，平行四边形ABCD与平行四边形EFCG是两个形状一模一样的平行四边形，点G、

D、都在线段AE上，三角形BEF的面积是2，那么三角形ABD的面积是____.

AGDEB

【例 62】 如图长方形ABCD，AB = 24，BC = 18，把AB边对折到AC上与AC重合，把AD边

也对折到AC上与AC重合，请问得到的新图形的面积是多少？

CFABAEHGBDFCD

C