爱提分圆和扇形周长及面积公式五年级

爱提分圆和扇形周长及

面积公式五年级

Document number：PBGCG-0857-BTDO-00-PTT1998

一

知识精讲

：周长与面积公式

在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．点O就称为该圆的圆心；圆心与圆周上任意一点的连线（例如线段OA）叫做半径；通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做直径．直径长恰好是半径长的两倍．

圆心确定了圆所在的位置，半径长度确定了圆的大小．一个圆只要确定了“圆心”和“半径”，就能完全确定下来．

圆周长与直径的比值是一个固定不变的数，我们称之为圆周率，用希腊字母表示．圆周率是一个无限不循环小数，无法写成分数的形式．在实际问题的计算中，常常取近似值． 一．圆的周长与面积公式

1．直径长度通常用字母d表示，半径长度通常用r表示，圆周长通常用C表示，圆面积通常用字母S表示．

2．圆周长公式：

蜜蜂飞行：无论小圆有多少个，大小是否相等，只要所有小圆的直径之和等于大圆的直径，那么它们的周长之和也等于大圆的周长．

3．圆面积公式：

?

二．扇形的周长与面积公式

扇形是指圆上被两条半径和半径之间的弧所包围的部分．其中，圆的半径也称为扇形的半径，而两条半径所成的夹角称为扇形的圆心角．扇形是圆的一部分．

要想知道扇形的弧长与面积，只要知道它是所在圆的几分之几就可以了．它是圆的几分之几，它的弧长就是圆周长的几分之几，它的面积也同样就是圆面积的几分之几．

1．扇形弧长公式：

2．扇形面积公式：

3．温馨提示：扇形的弧长不是它的周长，扇形的周长还必须加上两条半径．

三点剖析

重难点：扇形周长公式，需要加上两条半径

题模精讲

题模一?圆的周长与面积公式

例、

已知一个圆的直径为2厘米，那么这个圆的周长为_________厘米，面积为_________平方厘米．

答案：

；

解析：

周长为

? 例、

厘米，面积为平方厘米．

已知一个圆的周长为厘米，那么这个圆的直径为_________厘米．

答案：

16

解析：

直径为

?

厘米．

例、

有一个圆形花坛，直径为20米，一只小蜜蜂沿着花坛外周飞了一圈，请问它飞了多少米？如果小蜜蜂沿着图中的虚线，飞一个“8”字，路线构成过花坛圆心的两个小圆，那么这次它飞了多少米？（

取）

答案：

（1）米（2）米

解析：

小圆半径是5米，飞行路线为两个小圆周长，所以是

米．无论小圆有多少个，大小是否相等，只要所有小圆的直径之和等于大圆，那么它们的周长之和也等于大圆．

? 例、

如图，已知长方形的面积是12，则图中阴影部分的面积是多少？（取）

答案：

解析：

长方形可以分成两个面积相等的正方形，面积都是6．方中圆，方和圆的面积比为

，可求出小圆的面积是

．

? 例、

，那么阴影部分的面积是

如图，在一块面积为平方厘米的圆形铝板中，裁出了7个同样大小的圆铝板．问：余下的边角料的总面积是多少平方厘米？（

取）

答案：

平方厘米

解析：

，大圆半径是3厘米．小圆半径是1厘米，所以边角料面

积为

? 例、

平方厘米．

已知大圆的直径为10厘米，有四个大小不等的圆，圆心都在大圆的一条直径上，并且它们的直径之和与大圆相等．那么4个小圆的周长之和是________厘米．（

取）

答案：

解析：

假设中间4个小圆的直径分别为a、b、c、d，则有个小圆的周长之和为米．

? 例、

，4厘

如图，直角三角形的面积是40平方厘米，圆的面积是________平方厘米（π取3）．

答案：

240

解析：

直角三角形的直角边即为圆的半径，所以是

?

，，圆的面积

平方厘米．

题模二?扇形的周长与面积公式

例、

如图3，圆P的直径OA是圆O的半径，面积是__________．（π取3）

，，则阴影部分的

答案：

75

解析：

阴影部分的面积等于大圆面积的一半减去小圆的面积，即

．

? 例、

一个扇形的半径为6平方厘米，圆心角为60°，这个扇形的周长是__________厘米．（

答案：

?取）

解析：

这个扇形是它所在圆的，所以这个扇形的弧长是

cm，扇形的周长是

? 例、

厘米．

一个扇形的面积为平方厘米，圆心角为45°，这个扇形的周长是_______厘米．（

答案：

取）

解析：

这个扇形是它所在圆的，所以这个圆的半径的平方是

，所以这个圆的半径是4厘米，所以扇形的半径是4厘米，

扇形的周长是

? 例、

厘米．

在荷兰的小镇卡茨赫弗尔，2013年6月建成了一个由三个半圆组成的城市雕塑，三个半圆的直径分别为，，．这个雕塑的原始图形来自于阿基米德《引理集》中的鞋匠刀形（Arbelos），即下图中阴影部分所示的图形．那么，该城市雕塑中的鞋匠刀形的周长为__________（圆周率用π表示）

答案：

πm

解析：

鞋匠刀形的周长是由3条半圆形弧线组成，所以周长为

m．

? 例、

如图，等边三角形ABC的边长是1，依次以A、C、B为圆心，以BA、CD、BE为半径画扇形，那么三个扇形的面积和是多少？（结果保留π）

答案：

解析：

各扇形圆心角均为面积和是

? 例、

，半径分别为1、2、3，因此三个扇形的．

一个半径为3分米的扇形，面积为平方分米，那么它的圆心角是__________，它的弧长又是__________分米．

答案：

80°，

解析：

根据题意得，，所以，所以圆心角是

度．弧长为

? 例、

．

如图，边长为3cm与5cm的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一个以它的顶点B为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积是________（结果保留π）．

答案：

解析：

?

连结AC、FB．易知

? 例、

，故，．

如图，有三个同心半圆，它们的直径分别为2，6，10，用线段分割成9块，如果每块字母代表这一块的面积并且相同的字母代表相同的面积，那么(A＋B)：C＝_______

答案：

55：48

解析：

设A的半径为，B的半径为，C的半径为

A的面积：

B的面积：3B=，．

C的面积：5C=，．

．

?

题模三?捆圆的周长和面积

例、

已知下图中的每个小圆的半径均为1，这个图形的面积是__________．（取）

答案：

解析：

如图，对图形进行分割后可知这个图形的面积相当于8个边长为2的正方形和一个半径为1的圆的面积的和．面积为

．

? 例、

如图，有8个半径为1的小圆，用它们圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心．那么花瓣图形的周长和面积分别是多少？

答案：

周长

解析：

，面积

如图，做辅助线后可以看出周长为4个的圆弧加上4个半圆弧，所以周

长为圆，即

；而面积为正方形减去4个半圆加上4个

．

? 例、

如图，每个圆的面积都为，求该图形的外周长．

答案：

解析：

圆半径为2．图形外周长可以分为三段长为4的线段和三段120°角的圆弧，则外周长为

? 例、

．

如图，有七根直径为5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们扎成一捆，此时橡皮筋的长度是多少厘米？

答案：

解析：

如图，作辅助线后可以发现外周长是由6段长度为5的线段和6个60°角

的圆弧组成，所以皮筋长度为．

?

随堂练习

随练、

已知一个圆的直径是12厘米，那么这个圆的面积为__________平方厘米？（

取）

答案：

解析：

直径为12厘米，那么半径为6厘米，面积是平方厘米．

? 随练、

已知一个圆的面积为314平方厘米，那么这个圆的直径为_______厘米？（取）

答案：

20

解析：

这个圆的半径为平方是直径是20厘米．

? 随练、

，所以这个圆的半径是10厘米，

半径分别为1、2、3、4厘米的四个圆的周长之和是多少厘米？（

答案：

取）

厘米

解析：

圆的周长公式为，周长之和为

厘米．

? 随练、

如图，在一块面积为平方厘米的纸板中，裁出了2个同样大小的圆纸板．问：余下的纸板的总面积是多少平方厘米？（

取）

答案：

平方厘米

解析：

大圆的面积是平方厘米，可求出大圆的半径是2厘米，那么小圆的半径是1厘米，面积是平方厘米．阴影部分的面积是厘米．

? 随练、

平方

已知三个小圆的圆心在大圆同一直径上，周长分别为3、1、2厘米，则大圆周长为多少厘米？（π取近似值）

答案：

6

解析：

大圆的直径等于三个小圆的直径之和，周长也恰为3个小圆周长之和．

? 随练、

如图，边长为3cm与5cm的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一个以它的顶点B为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积是__________（结果保留π）．

答案：

解析：

阴影部分面积为梯形ABFE与扇形ABC的面积之和减去三角形FEC的面积，易得为

? 随练、

．

已知一个扇形的半径是10厘米，圆心角是，那么：

（1）这个扇形所在圆的周长是_________厘米，扇形的圆心角占圆周角的_________，它的弧长占圆周长的_________，这个扇形的弧长是_________厘米，周长是_________厘米．

（2）这个扇形面积占它所在圆的面积的_________，是_________平方厘米．

答案：

（1）；；；；（2）；

解析：

（1）这个扇形所在圆的周长是角的厘米，周长是

厘米，扇形的圆心角占圆周

，它的弧长占圆周长的，这个扇形的弧长是

．

（2）这个扇形面积占它所在圆的面积的，面积是厘米．

? 随练、

平方

半径为10、20、30的三个扇形如下图放置，是的__________倍．

答案：

5

解析：

为倍．

? 随练、

，为，所以是的5

根据图中所给的数值，求这个图形的面积．（π取近似值）

答案：

解析：

平方厘米．4个直角扇形的面积之和是

4，因此整个圆角矩形的面积就是

．

? 随练、

如图，有七根直径为4厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们扎成一捆，此时橡皮筋的长度是多少厘米？（π取近似值）

答案：

解析：

把圆角六边形的周长分为12个部分，由6条直线段和6段圆弧组成．6条直线段中，每段的长度都是5厘米，它们的长度和是

厘米6段圆弧

中，每段所对应的圆心角都是60°，每段的弧长都是圆周长的弧恰好能拼成一个完整的圆周．它们的弧长之和就是圆周长，即厘米．圆角六边形的周长就是这两部分长度之和，即

，6段圆

厘米．

?

课后作业

作业1、

已知圆的直径为20米，那这个圆的周长为多少米？（π取近似值）

答案：

解析：

圆周长的计算公式为：C圆=π×D．

? 作业2、

把两根横截面半径都是10厘米的钢管用铁丝紧紧捆在一起，如果捆绑处不计，至少要用铁丝____________厘米．

答案：

解析：

厘米．

? 作业3、

一辆压路机的前轮是圆柱形，轮宽米，直径是米．前轮转动一周，压路的面积是______平方米．

答案：

平方米

解析：

轮子压一周，周长为压路的面积=长×宽

? 作业4、

米，即压在路面上的长是米， 平方米．

已知圆的面积是314平方米，那圆的周长是多少米？（π取近似值）

答案：

解析：

由圆的面积可以求出半径的平方，算出半径后可由公式计算圆的周长，为．

? 作业5、

已知三个小圆的圆心在大圆同一直径上，周长分别为1、2、3厘米，则大圆周长为多少厘米？（π取近似值）

答案：

6

解析：

大圆的直径等于三个小圆的直径之和，周长也恰为3个小圆周长之和．

? 作业6、

如图，在一块面积为36平方厘米的圆形铝板中，裁出了7个同样大小的圆铝板．问：余下的边角料的总面积是多少平方厘米？

答案：

8平方厘米

解析：

小圆的半径是整个大圆半径的，因此小圆的面积是大圆面积的，为

平方厘米；

大圆去掉7个小圆后剩下的面积是

? 作业7、

平方厘米．

已知一个扇形的圆心角为120°，半径为2，这个扇形的面积是________，周长是________（π取）．

答案：

面积

解析：

，周长

扇形的面积；

周长

? 作业8、

．

如图，求各图中阴影部分的面积．（取）

答案：

解析：

阴影部分面积为半径为4的半圆面积减去对角线为8的等腰直角三角形面

积．阴影部分面积为

? 作业9、

．

已知扇形的半径为3米，面积为米，那扇形的圆心角为多少度？（π取近似值）

答案：

180

解析：

扇形所在圆的面积≈×32=平方米，由此可知该扇形是它所在圆的

．那么圆心角应该是360°的二分之一．

? 作业10、

已知一个扇形的半径为5厘米，弧长为厘米，这个扇形的面积是多少？

答案：

解析：

因为扇形的弧长为厘米，所以，可得

．扇形面积为

? 作业11、

平方厘米．

根据图中所给的数值，求这个图形的面积．（π取近似值）

答案：

解析：

平方厘米．4个直角扇形的面积之和是

，因此整个圆角矩形的面积就是

．

? 作业12、

如图，三个圆的半径都是4，那整个图形的外周长是多少？（π取近似值）

答案：

解析：

整个外周长可以分为3段直线和3段弧形．

? 作业13、

如图，有七根直径为10厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们扎成一捆，此时橡皮筋的长度是多少厘米？（π取近似值）

答案：

解析：

把圆角六边形的周长分为12个部分，由6条直线段和6段圆弧组成．6条直线段中，每段的长度都是5厘米，它们的长度和是

厘米6段圆

，6段

弧中，每段所对应的圆心角都是60°，每段的弧长都是圆周长的圆弧恰好能拼成一个完整的圆周．它们的弧长之和就是圆周长，即

厘米．圆角六边形的周长就是这两部分长度之和，即厘米．