新海高级中学2013届高三理科数学12月检测试卷

新海高级中学2013届高三理科数学12月检测试卷

一．填空题

x241.函数f(x)的定义域为___(2,)___.

log2(x1)z2. 已知复数z11i，z21i,那么2=____i_____

z13. 将函数ysin2x的图象向左平移式是

y2cosx 4. 已知点P(1,2)在终边上，则

2个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析425.已知向量a,b满足|a|3,|b|5,|ab|7，则a,b的夹角为 ______ (-2,1) 。

__.13 7. 在等差数列{an}中,a37,a5a26,则a6__________6sin8cos＝ 5

3sin2cos36. .在R上定义运算⊙: a⊙bab2ab,则满足x⊙(x2)<0的实数x的取值范围为

8.从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 __0.75__

x2y29. .已知F1、F2是椭圆C:221（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且

abPF1PF2.若PF1F2的面积为9，则b=_____3____.

10. 设和为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于； （2）若外一条直线l与内的一条直线平行，则l和平行； （3）设和相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则和垂直； （4）直线l与垂直的充分必要条件是l与内的两条直线垂直。 上面命题中，正确命题的个数是 2 个

CA(1C)的B最小值是 11.△ABC中，Cπ，AC1,BC2，则f()222 . 12. 已知直线axbyc0(abc0)与圆x2y21相离，则以三条边长分别为|a|,|b|,|c| 所构成的三角形的形状是 钝角三角形 13. 曲线C:xy1上的点到原点的距离的最小值为 2 . 421x,x014. 设函数f(x),方程f(x)＝x+a有且只有两相不等实数根，则实a的取值

f(x1),x0范围为 3,4 .

二．解答题

15．在锐角ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足(2ac)cosBbcosC．

（1）求角B的大小； （2）设m(sinA,1),n(3,cos2A)，试mn求的取值范围． （1）因为(2ac)cosBbcosC，所以(2sinAsinC)cosBsinBcosC，

即 2siAnsCinBcosBsinCcosCsBin( AcosB1．故 B60„„„„„„„„6分 而 sinA，所以02 （2）因为 m(sin osA,1)n,(3,cA 所以 mn3sinAcos2A3sinA12sin2A2(sinA3)217．

480A900A90 由B60得  所以 30„„10分 A900120A900C90 从而sinA(1,1) 故mn的取值范围是(2,17]．„„„„„„„„14分

2816．在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2．

P（Ⅰ）求四棱锥P－ABCD的体积V；

（Ⅱ）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF； （Ⅲ）求证CE∥平面PAB． 解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1， EcoBs∠BAC＝60°，∴BC＝3，AC＝2． 在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，

FDA∴CD＝23，AD＝4．

11∴SABCD＝ABBCACCD

22B115155132233．则V＝323． 222323（Ⅱ）∵PA＝CA，F为PC的中点，

∴AF⊥PC． ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．

P∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，

∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC． ∵E为PD中点，F为PC中点， ∴EF∥CD．则EF⊥PC． ∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF． F（Ⅲ）证法一：

A取AD中点M，连EM，CM．则EM∥PA． ∵EM 平面PAB，PA平面PAB，

B∴EM∥平面PAB． „„„ 12分 在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2， ∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB． ∵MC 平面PAB，AB平面PAB，

P∴MC∥平面PAB．

∵EM∩MC＝M，

∴平面EMC∥平面PAB． ∵EC平面EMC， ∴EC∥平面PAB． F证法二： A延长DC、AB，设它们交于点N，连PN． ∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD， B∴C为ND的中点． „„12分 ∵E为PD中点，∴EC∥PN．„„14分 ∵EC 平面PAB，PN 平面PAB，

NCEMDCEDC

∴EC∥平面PAB．

17．设命题p：函数f(x)lg(ax2x1a)的定义域为R；命题q：不等式3x9xa对16一切正实数均成立

（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；

（2）如果命题“p或q”为真命题且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围。 （1）ax2xxxa0aa2 0,xR恒成立16△<022（2）“p或q”为真命题且“p且q”为假命题，即p，q一真一假 故a[0,2] 39aa0x2y218．已知点P（4，4），圆C：(xm)y5(m3)与椭圆E：221(ab0)有一

ab个公共点 A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切． （Ⅰ）求m的值与椭圆E的方程；

（Ⅱ）设Q为椭圆E上的一个动点，求APAQ的取值范围． 解：（Ⅰ）点A代入圆C方程， 得(3m)215．∵m＜3，∴m＝1． 圆C：(x1)2y25．

设直线PF1的斜率为k，则PF1：yk(x4)4， 即kxy4k40．

|k04k4|∵直线PF1与圆C相切，∴5．

2k1F1111解得k,或k． „„„„„„„„ 4分

221136当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去． 2111当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4，

2∴c＝4．F1（－4，0），F2（4，0）． „„„„„„„„ 6分 2a＝AF1＋AF2＝52262，a32，a2＝18，b2＝2．

x2y2椭圆E的方程为：1． „„„„„„„„ 8分

182Qx(,3y)1（Ⅱ）AP(1,3)，设Q（x，y），A，

APAQ(x3)3(y1)x3y6． „„„„„„„„ 10分 x2y2∵1，即x2(3y)218， 182而x2(3y)2≥2|x||3y|，∴－18≤6xy≤18． „„„„„„„„ 12分

yPAF2OCQx则(x3y)2x2(3y)26xy186xy的取值范围是[0，36]． „„„ 14分 x3y的取值范围是[－6，6]． ∴APAQx3y6的取值范围是[－12，0]． „„„„„„„„ 16分

19．幂函数y = x 的图象上的点 Pn(tn2,tn)（n = 1,2,„„）与 x 轴正半轴上的点 Qn 及原点 O 构成一系列正△PnQn－1Qn（Q0与O重合），记 an = | QnQn－1 | （1）求 a1的值； （2）求数列 {an} 的通项公式 an;

（3）设 Sn为数列 {an} 的前 n 项和，若对于任意的实数 ∈[0,1]，总存在自然数 k，当 n≥k时，3Sn－3n + 2≥(1－) (3an－1) 恒成立，求 k 的最小值.

13(1) 由 P1(t12,t1)（t > 0），„ 1分,得 kOP1 = = tan = 3  t1 = yt133

13

∴ P1( , ) „„„„2分

33

2

a1 = | Q1Q0 | = | OP1 | = „„„„5分

3

P1(2) 设 Pn(tn2,tn)，得直线 PnQn－1的方程为：y－tn = 3 (x－tn2)

tn可得 Qn－1(tn2－ ,0) Qn-13OQ1tn直线 PnQn的方程为：y－tn = －3 (x－tn2)，可得 Qn(tn2 + ,0)

3

tn－1tn－1tn1

所以也有 Qn－1(tn－12 + ,0)，得 tn2－ = tn－12 + ，由 tn > 0，得 tn－tn－1 =

3333

13

∴ tn = t1 + (n－1) = n „„„„8分

33

112

∴ Qn( n(n + 1),0),Qn－1( n(n－1),0) ∴ an = | QnQn－1 | = n „„„„10分

333

2

(3) 由已知对任意实数时 ∈[0,1] 时 n－2n + 2≥(1－) (2n－1) 恒成立

 对任意实数 ∈[0,1] 时，(2n－1) + n 2－4n + 3≥0 恒成立„„„„12分 则令 f () = (2n－1) + n 2－4n + 3，则 f () 是关于  的一次函数.

 f (0)≥0 n 2－4n + 3≥0

 对任意实数 ∈[0,1] 时    2 „„„„14分

 f (1)≥0 n－2n + 2≥0

 n≥3或n≤1 又 ∵ n∈N * ∴ k 的最小值为3„„„„16分

20. 已知函数fxalnxbx图象上一点P（2，f(2)）处的切线方程为

2PnQnxy3x2ln22． （Ⅰ）求a,b的值；

1（Ⅱ）若方程fxm0在[,e]内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e2.7）；

e（Ⅲ）令gxfxnx，如果gx图象与x轴交于Ax1,0,Bx2,0x1x2，AB中点为Cx0,0，求证：gx00． 解：（Ⅰ）fx∴

aa2bx，f24b，f2aln24b． x2a4b3，且aln24b62ln22． „„„„„„„„ 2分 2解得a＝2，b＝1． „„„„„„„„ 4分 （Ⅱ）fx2lnxx2，令hxf(x)m2lnxx2m，

22(1x2)则hx2x，令hx0，得x＝1（x＝－1舍去）．

xx11在[,e]内，当x∈[,1)时，hx0，∴h(x)是增函数；

ee当x∈(1,e]时，hx0，∴h(x)是减函数． „„„„„„„„ 7分

1h(e)≤0,1则方程hx0在[,e]内有两个不等实根的充要条件是„„10分 h(1)0,eh(e)≤0.即1m≤e-22．

„„„„„„„„ 12分

（Ⅲ）gx2lnxxnx，gx222xn． x①②③ ④2lnx1x12nx10,22lnx2x2nx20,假设结论成立，则有x1x22x0,22xn0.0x0x1xx2①－②，得2ln1(x12x22)n(x1x2)0． ∴n22x0．

x2x1x2xxxln1212ln1x2xxx2221由④得n2x0， ∴．即ln12．⑤ ．即

x1x0x1x2x1x2x1x2x0x21x2 „„ 14分

x2t2令t1，u(t)lnt（0＜t＜1)，

x2t1ln(t1)2则u(t)＞0．∴u(t)在0＜t＜1上增函数． 2t(t1)u(t)u(1)0，∴⑤式不成立，与假设矛盾．