初中数学辅导讲义初二T同步(正方形3星)

——正方形（★★★）

1．掌握正方形的概念，明确特殊平行四边形之间共同点和不同点；

2．理解正方形的特殊性质并能运用这些知识进行有关简单的证明和计算；

3．把握正方形的特殊判定方法，准确解答正方形和其他类型的平行四边形综合题； 4．提高学生的读题能力，锻炼学生分析问题、解决问题的能力．

本题主要是回顾以前所学的相关知识点，建议3分钟．

（★★★）如图，依次连结一个边长为1的正方形各边的中点，得到第二个正方形，再依次连结第二个正方形各边的中点，得到第三个正方形，按此方法继续下去， 则第六个正方形的面积是 ．

建议采用课堂提问的方式，画图分析理解，时间3分钟．

1、正方形的概念：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2、正方形的性质

（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质 （2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等

（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角 （4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴

（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，

两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形

（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。 3、正方形的判定

（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：

先证它是矩形，再证有一组邻边相等。 先证它是菱形，再证有一个角是直角。 （2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：

先证明它是平行四边形；再证明它是菱形（或矩形）；最后证明它是矩形（或菱形）

b24、正方形的面积：设正方形边长为a，对角线长为b 则S正方形=a

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建议引导学生独立思考，并注重培养总结规律的好习惯，时间24分钟

题型Ⅰ正方形的概念和计算 （★★★）以正方形ABCD的边BC 为边做等边△BCE，

则∠AED的度数为 ． 【答案】150°或15°．

（★★★）如图，将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转30°，至正方形AB′C′D′，则旋转前后正方形重叠部分的面积是________．

【答案】3． 3

（★★★）如图，在正方形ABCD中，M是BC的中点，EF垂直平分AM，分别交AB、CD于点E、F，若正方形的边长是8，则△AEM的面积是 DFCMAEB 【答案】根据勾股定理可以求出AE=ME=5，故△AEM面积是10．

（★★★）如图，E为正方形ABCD的边AB上的一点，AE=3，BE=1，P为AC上的动点，则PB+PE的最小值为 ．

【答案】因点B关于线段AC的对称点是D，故当点P在线段DE与AC的交点处时可得最小值5．

题型Ⅱ正方形的性质和判定

（★★★）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）

A．当AB=BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形

0

C．当∠ABC=90时，它是矩形 D．当AC=BD时，它是正方形 D A B 【答案】D．

C

（★★★）1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质（ ）．

A．对角线相等 C．对角线平分一组对角 【答案】B．

B．对角线互相平分 D．对角线互相垂直

2．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，

作FG⊥AB于G．下列结论①BF⊥AC，②CE2=2BE2，③AB2=2FG2．其中正确的是（ ） A．①② 【答案】C．

B．①③

C．②③

D．③

（★★★）在正方形ABCD中，BE∥AC，CE=AC，交AB于点F ． （1）求∠ECA的度数． （2）证明：AF=AE ． DCAFBE 【答案】（1）过点B作BG垂直于AC，G为垂足，过点E作EH垂直于AC，H为垂足，易证得BG=EH，且都等于AC的一半，所以∠ECA=30°． （2）因为∠ECA=30°，易证得∠AEC=75°=∠BFC，故AF=AE

（★★★）1．已知正方形ABCD的边长为1，对角线AC上一点P ，又有∠EPB=90°，交AD于点E．

求证：（1）PE=PB．

（2）若P在AC上移动，且∠EPB=90°，设PC=x，AE=y．

求y关于x的解析式并求出函数的定义域．

AEDPBC 【答案】（1）过点P作AB的平行线GH，分别交AD于点G，交BC于点H， 易证△PGE≌△BHP，故PE=PB．

（2）根据勾股定理和第一问的结论可以得出AP2x，

AP2xAG122x,EGx， 222)． 2所以y12x(0x

1．熟练掌握正方形的概念、性质和判定是解题的关键，也是区别矩形、菱形的基础． 2．几何证明需要读题仔细，挖掘隐含的结论从而推导结论． 3．要想真正学好四边形，需要一定的练习量才能产生质变．

建议10分钟

（★★★）1．如图，在正方形ABCD中，E是AB边上任一点，BG⊥CE，垂足为点O，交AC于点F，交AD于点G． （1）证明：BE=AG；

（2）当点E是AB边中点时，试比较∠AEF和∠CEB的大小，并说明理由．

【答案】根据正方形的性质利用ASA判定△GAB≌△EBC，

根据全等三角形的对应边相等可得到AG=BE；

利用SAS判定△GAF≌△EAF，从而得到∠AGF=∠AEF， 由△GAB≌△EBC可得到∠AGF=∠CEB；

所以∠AEF=∠CEB．

（★★★）2．如图，已知M、N两点在正方形ABCD的对角线BD上移动，∠MCN为定角，连结AM、AN，并延长分别交BC、CD于E、F两点，则∠CME与∠CNF在M、N两点移动过程，它们的和是否有变化？证明你的结论．

【答案】∵ BD为正方形ABCD的对称轴，

∴ ∠1＝∠3，∠2＝∠4， ∴ ∠EMC＝180°－∠1－∠3＝180°－2∠1． 同理 ∠FNC＝180°－2∠2． ∴ ∠EMC＋∠FNC＝360°－2（∠1＋∠2）． ∵ ∠MCN＝180°－（∠1＋∠2），

∴ ∠EMC＋∠FNC总与2∠MCN相等．

因此∠EMC＋∠FNC始终为定角，这定角为∠MCN的2倍．