2014届高考数学总复习 2.12定积分与微积分基本定理(理)提高分课时作业(含2013年模拟题) 新人教A版

【题组设计】2014届高考数学（人教版）总复习“提高分”课时作业 2.12定积分与微积分基本定理(理)（含2013年模拟题）

【考点排查表】

考查考点及角度 定积分的计算 求曲多边形的面积 定积分在物理中的应用 一、选择题 1．已知f(x)为偶函数且∫0f(x)dx＝8，则∫－6f(x)dx＝( ) A．0 C．8

B．4 D．16

6

6

难度及题号 基础 6,7 中档 1,3,10 稍难 12 错题记录 4 9 8,13 5 11 06

【解析】 原式＝∫－6f(x)dx＋∫0f(x)dx.

∵原函数为偶函数，∴在y轴两侧的图象对称， ∴对应的面积相等8×2＝16. 【答案】 D

2．(2013·江西师大附中)计算20 4－xdx的结果是( ) A．4π C．π

B．2π D.π 2

2

22【解析】 令f(x)＝ 4－x，其意义为x轴上方半径为2的圆．∴204－xdx表示

112

半径为2的圆的面积的，即π×2＝π，故选C.

44

【答案】 C

x3．函数F(x)＝∫0t(t－4)dt在[－1,5]上( )

A．有最大值0，无最小值 32

B．有最大值0，最小值－

3

1

32

C．有最小值－，无最大值

3D．既无最大值也无最小值

【解析】 F(x)＝∫0t(t－4)dt＝∫0(t－4t)dt ＝

xx2

1t3－2t2x＝1x3－2x2， 303

73225函数F(x)的极值点为x＝0，x＝4，F(－1)＝－，F(0)＝0，F(4)＝－，F(5)＝－，

33332

故F(x)有最大值0，最小值－.

3【答案】 B

x＋1，－1≤x＜0，

4．函数f(x)＝π

cos x，0≤x≤，2

( )

3

A. 2C．2

的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为

B．1 1D. 2

【解析】 根据定积分的几何意义结合图形可得所求的封闭图形的面积为

π

1

∫S＝×1×1＋20cos xdx

2π

11π

＝＋sin x|20＝＋sin－sin 0 222

3＝. 2【答案】 A

5．(2012·长春质检)以初速度40 m/s竖直向上抛一物体，t秒时刻的速度v＝40－10t，则此物体达到最高时的高度为( )

A.C.160

m 340m 3

B.D.80m 320m 3

2

2

【解析】 v＝40－10t＝0，t＝2，∫0(40－10t)dt＝160

＝(m)． 3

【答案】 A

222



10321040t－t×80＝40×2－

33

6．若a＝∫0xdx，b＝∫0xdx，c＝∫0sin xdx，则a，b，c的大小关系是( ) A．a＜c＜b C．c＜b＜a

8x2

【解析】 a＝|＝，b＝|0＝4.

334

2

0

22232

B．a＜b＜c D．c＜a＜b

4

x3

c＝－cosx|20＝1－cos 2.

∴c＜a＜b.故选D. 【答案】 D 二、填空题

2

7．计算∫－2(sinx＋2)dx＝________.

22

【解析】 ∫－2(sinx＋2)dx＝(－cosx＋2x)|－2

＝－cos2＋4－(－cos2－4)＝8. 【答案】 8

8．(2013·青岛模拟)如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于1

函数y＝(x>0)图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E的面积为( )

xA．ln 2 C．2－ln 2

B．1－ln 2 D．1＋ln 2

212

【解析】 S＝1×1＋1dy＝1＋ln y|1＝1＋ln 2.

y【答案】 D

9．(2013·潍坊模拟)如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sin

x(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是________．

【解析】

3

阴影部分的面积

π

S＝∫π0sin xdx＝－cos x|0＝－(－1－1)＝2，

矩形的面积为2π.

阴影部分的面积21概率P＝＝＝. 矩形面积2ππ【答案】

1 π

三、解答题 10．求下列定积分：

2

(1)∫20cos －sin dx；

22

π

xx－x＋x＋1

(2)∫dx.

2

1

32

x2

【解】 (1)∫20cos －sin dx

22

π

xx＝∫20(1－sin x)dx＝(x＋cos x)|20 ＝

ππ

π＋cosπ－(0－cos 0)

22

π

＝－1. 2

－x＋x＋122－1

(2)∫dx＝∫1(－x＋x＋x)dx

2

1

3

2

x＝



13122－x＋x＋ln x1 32

13121312＝－×2＋×2＋ln 2－－×1＋×1＋ln 1

2233

5

＝－＋ln 2.

6

11．设一物体从初速度为1时开始做直线运动，已知在任意时刻t的加速度为2t＋1，将位移s表示为时间t的函数表达式．

t【解】 在时间区间[0，t]上(t>0)，由微积分基本定理得：v(t)－v(0)＝∫0a(t)dt，

43

即∫0(2t＋1)dt＝t2＋t.

3

t 4

43

由v(0)＝1得v(t)＝t2＋t＋1.

3

8512

同理，有s(t)－s(0)＝∫0v(t)dt＝t2＋t＋t，

152

t8512

由s(0)＝0得s(t)＝t2＋t＋t.

15212．设f(x)＝∫0|x－a|dx.

(1)当0≤a≤1与a＞1时，分别求f(a)； (2)当a≥0时，求f(a)的最小值． 【解】 (1)0≤a≤1时，

22

f(a)＝∫10|x－a|dx

1

2

2

＝∫0(a－x)dx＋∫a(x－a)dx 13a＝(ax－x)

30

23

a22122

12

＋(－ax)3ax3

3

131a23

＝a－a－0＋0＋－a－＋a

3334321＝a－a＋. 33当a＞1时，

131f(a)＝∫(a－x)dx＝(ax－x)

30

10

2

2

2

12

＝a－. 3

41

a－a＋， 33

∴f(a)＝1

a－3， a＞1.

3

2

2

0≤a≤1，

12

(2)当a＞1时，由于a－在[1，＋∞)上是增函数，故f(a)在[1，＋∞)上的最小值是

3

f(1)＝1－＝.

当a∈[0,1]时，f′(a)＝4a－2a＝2a(2a－1)， 1

由f′(a)＞0知：a＞或a＜0，

211

故在[0，]上递减，在[，1]上递增．

2211

因此在[0,1]上，f(a)的最小值为f()＝.

241

综上可知，f(x)在[0，＋∞)上的最小值为. 4

2

1233

5

四、选做题

13．设直线y＝ax(a＜1)与抛物线y＝x所围成的图形面积为S，它们与直线x＝1围成的面积为T，若U＝S＋T达到最小值，求a值．

y＝ax【解】(1)当0＜a＜1时，如图1由2

2

得交点(0,0)，(a，a)．

2



y＝x23323

S＝∫a0(ax－x2

)dx＝

ax2－x3a

0＝a2－a3＝a6. T＝∫1

2

x3ax2a(x－ax)dx＝

11aa3



3

－2

a＝3－2＋6. ∴U＝S＋T＝a3a1

3－2＋3

. U′＝a2－12

.

令U′＝0，得a＝22

. 当a∈2

0，2

时，U′＜0. 当a∈

22，1



时，U′＞0. 故，当a＝22－2

2时，U最小值为6

. (2)

当a＜0时，如图2

由y＝ax(a，a2

)



y＝x2

得交点(0,0)和S＝∫0

2

a(ax－x)dx＝



ax2x32

－30



a

＝－a3a3a3

2＋3＝－6

.

T＝∫1(x2

－ax)dx＝

x3ax20



3

－21

0 ＝1a3－2＝13－a2

. ∴U＝S＋T＝－a3a1

6－2＋3

.

6

U′＝－－＜0.

3

2

所以函数U(a)在(－∞，0)上单调递减． 故函数U(a)无最小值． 当a＝0时，显然无最小值．

a21

7