高考函数题型及方法总结

高考函数题型及方法总结(总

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2014高考函数题型方法总结 作者：姬爱霞老师---丝路教育

第一部分：必考内容与要求

函数概念与基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函数、幂函数）

第二部分：题型方法总结

题型一：函数求值问题

★（1）分段函数求值→“分段归类”

log3x,x01例1．（2010湖北）已知函数f(x)x，则f(f())( )

92,x0A.4

1B. 4C.-4 D-

14

tanx,x0例2．若f(x2)，则f(2)f(2)（ ）

4log2(x),x0A．1 B．1

C．2

D．2

x0log(4x),例3．(2009年山东)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=2，则

f(x1)f(x2),x0f（2009）的值为( ) A.-1 B. -2 C.1 D. 2

★（2）已知某区间上的解析式求值问题→“利用周期性、奇偶性、对称性向已知区间上进行转化” 例4．（2009年江西）已知函数f(x)是(,)上的偶函数，若对于x0，都有f(x2）f(x) 且当x[0,2)时，f(x)log2(x1），f(2008)f(2009)的值为（ ） A．2 B．1 C．1 D．2

1例5．（2009辽宁卷文）已知函数f(x)满足：x≥4,则f(x)＝()x；当x＜4时

21113f(x)＝f(x1)，则f(2log23)＝（ ） （A） （B） （C） （D）

241288例6．（2010山东理）（5）设f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2xb （b 为常数），则f(1)（ ） （A）-3 （B）-1 （C）1 (D)3 ★（3）抽象函数求值问题→“反复赋值法”

例7．（2009四川卷文）已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有

515xf(x1)(1x)f(x)，则f()的值是（ ） A. 0 B. C. 1 D.

2222

1例8．（2010重庆理）若函数fx满足：f1，4fxfyfxyfxyx,yR

4则f2010=_____________.

题型二：函数定义域与解析式

（1）函数的定义域是研究函数及应用函数解决问题的基础，即处理函数问题必须树立“定义域优先”这种数学意识.熟练准确地写出函数表达式是对函数概念理解充分体现.

（2）求定义域问题本质转化为结不等式，故需掌握常见不等式解法。

（3）掌握求函数解析式的三种常用方法：待定系数法、配凑法、换元法，能将一些简单实际问题中的函数的解析式表示出来；掌握定义域的常见求法及其在实际中的应用． 例1．（2009江西卷理）函数yln(x1)x3x42的定义域为（ ）

A．(4,1) B．(4,1) C．(1,1) D．(1,1] 例2．（2010湖北文）函数yA.(

33,1) B(,∞) 441的定义域为（ ）

log0.5(4x3)C（1，+∞）

x21log2(x1) D. (

3,1)∪（1，+∞） 4例3．（2008安徽卷）函数f(x)的定义域为 ．

例4．求满足下列条件的f(x)的解析式：

112（1）已知f(x)x33，求f(x)； （2）已知f(1)lgx，求f(x)；

xxx（3）已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17，求f(x)；

1（4）已知f(x)满足2f(x)f()3x，求f(x)．

x例5.（2009安徽卷理）已知函数f(x)在R上满足f(x)2f(2x)x28x8，则曲线yf(x)在点

(1,f(1))处的切线方程是（ ） （A）y2x1 （B）yx （C）y3x2 （D）y2x3

题型四：函数值域与最值

关于求函数值域与最值的方法也是多种多样的，常用的方法有：1.利用基本函数求值域（观察法）2.配方法；3.反函数法；4.判别式法；5.换元法；6.函数有界性（中间变量法）7.单调性法；8.不等式法；9.数形结合法；10.导数法等。

例1.（2010重庆）（4）函数y164x的值域是( ) （A）[0,) （B）[0,4] （C）[0,4) （D）(0,4)

3

例2.（2010山东）(3)函数fxlog23x1的值域为( ) A. 0, B. 1, 0, C. 1, D. 例3.（2010天津）（10）设函数g(x)x2(xR)，

2(x)x4,xg(x),f(x){gg(x)x,xg(x).则f(x)的值域是( )

999（A）,0(1,) （B）[0,) （C）[,)（D）,0(2,)

444t24t1例4.（2010重庆）(12)已知t0，则函数y的最小值为____________ .

t例5.（2008重庆)已知函数y=1xx3的最大值为M,最小值为m,则(A)

1 4m的值为( ) M (B)

21 (C)

22 (D)3 211例6.（2008江西）若函数yf(x)的值域是[,3]，则函数F(x)f(x)的值域是( )

f(x)2A．[11051010,3] B．[2,] C．[,] D．[3,] 23233题型五：函数单调性

（一）考纲对照

内容 理科大纲版 函数的单调性、奇偶性 了解函数的单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法． 理科课标版 函数的单调性、最值、奇偶性 理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义. 会运用函数图像理解和研究函数的性质. 要求 （二）归纳总结 1、函数单调性的定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I：

如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1＜x2 都有f(x1)＜f(x2).那么就说f(x)在 这个区间上是增函数。

如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数。

4

2、定义的等价命题: 设x1,x2a,b

（1）◆如果

f(x1)f(x2)x0（x1x2），则函数在a,b是增函数

1x2◆x1x2fx1fx20则函数在a,b是增函数 ◆对于任意的m，都有f(m1)f(m)，则函数在a,b为增函数。

（2）◆如果

f(x1)f(x2)x0（x1x2），则函数在a,b是减函数

1x2◆x1x2fx1fx20f(x)在a,b是减函数。 ◆对于任意的m，都有f(m1)f(m)，则函数在a,b减函数。

3、定义引申的三种题型： x1,x2D

（1）判断函数的单调性 x1x2且f(x1)f(x2)，则f(x)是增函数

（2）比较自变量的大小 f(x)是增函数且f(x1)f(x2),则x1x2 （3）比较函数值的大小

f(x)是增函数且x1x2，则f(x1)f(x2)

4、有关单调性的几个结论：

（1）y＝f（x）与

y＝kf（x） 当k>0时，单调性相同；当k<0时，单调性相反

（2）如果函数f(x)为增函数g(x)也为增函数，则有：f(x)+ g(x)也为增函数，-g(x)为减函数，

减函数。

（3）如果函数

f(x)为增函数g(x)为减函数，则有：f(x) -g(x)也为增函数

（4）若

f(x)(其中f(x)>0)在某个区间上为增函数，则nf(x)与fn(x)

（5）复合函数

f[g(x)]的单调性由f(x)和g(x)的单调性共同决定.(同则增异则减)

▲【典型例题】

例1. (2009陕西卷理)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1,x2(,0](x1x2)，有

(x2x1)(f(x2)f(x1))0.则当nN*时,有

5

1f(x)为(A)f(n)f(n1)f(n1) (B) f(n1)f(n)f(n1) (C) f(n1)f(n)f(n1) (D) f(n1)f(n1)f(n) 例2.下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2(0,),当x1f(x2)的是 A.f(x)=

1 B.f(x)=(x1)2 C .f(x)=ex D.f(x)ln(x1) x12例3. （2010北京）给定函数①yx，②ylog1(x1)，③y|x1|，④y2x1，其中在区间（0，

21）上单调递减的函数序号是 （A）①② （B）②③ （C）③④ （D）①④

例4.（2009高考(福建文)）定义在R上的偶函数fx的部分图像如右图所示,则在2,0上,下列函数中与fx的单调性不同的是 A.yx21 B. y|x|1

x2x1,x0e,xoC. y3 D.yx

x1,x0e,x0例5.（2009高考(辽宁理)）已知偶函数f(x)在区间0,)单调增加,

1则满足f(2x1)312121212(A)(,) (B) [,) (C)(,) (D) [,)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

33332323例6.（2009高考(海南宁夏理)）用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值设

f(x)=min{x2, x+2,10-x} (x0),则f(x)的最大值为 A.4 B.5 C.6 D.7

x24x6,x0例7．（2009天津）设函数f(x)则不等式f(x)f(1)的解集是（ ）

x6,x0A．(3,1)(3,) B．(3,1)(2,) C．(1,1)(3,) D．(,3)(1,3)

)上为增函数，且f(1)0，则不等式例8．（2008全国）设奇函数f(x)在(0，f(x)f(x)0的解集

x为（ ）

0)(1，) B．(，1)(01)， C．(，1)(1，) A．(1，0)(01)， D．(1，例9．定义域为R的函数f(x)满足条件:①[f(x1)f(x2)](x1x2)0,(x1,x2R,x1x2); ②f(x)f(x)0 (xR); ③f(3)0.则不等式xf(x)0的解集是( ) A.x|3x0或x3 B.x|x3或0x3 C.x|x3或x3 D.x|3x0或0x3

6

ax,(x0)f(x1)f(x2)例10．已知函数f(x).满足对任意的x1x2都有0

xx(a3)x4a,(x0)1211成立,则a的取值范围是( ) A. (0,] B. (0,1) C. [,1) D. (0,3)

44题型六：函数奇偶性与周期性

【考点解读】

一、函数奇偶性的定义

（1）定义的解读与理解

【注】：（1）定义域关于原点对称；

（2）判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：

f(x)f(x)0，

f(x)1 f(x) （3）判断函数奇偶性的方法：一求二看三化简四比较五得结论 （建议学生画出判断函数奇偶性的算法框图） （2）、定义的引申：函数的对称性

◆偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式 f(x)f(x) ◆奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式f(x)f(x)0 引申1：函数的线对称

◆函数yf(x)关于xa对称f(ax)f(ax)

f(ax)f(ax)也可以写成f(x)f(2ax) 或 f(x)f(2ax) 引申2：函数的点对称

◆函数yf(x)关于点(a,b)对称f(ax)f(ax)2b

上述关系也可以写成f(2ax)f(x)2b 或 f(2ax)f(x)2b 2、奇偶函数的性质：

（1）偶函数的图象关于

y轴对称，奇函数的图象关于原点对称；

（2）奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反； （3）

f(x)为偶函数f(x)f(|x|)；

f(x)的定义域包含0，则f(0)0。

（4）若奇函数

7

3、函数奇偶性的有关结论：

（1）设

f(x)，g(x)的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域上：

奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇

（2）定义域关于原点对称的任意一个函数

f(x)都可表示成一个偶函数和一个奇函数之和．

即 f(x)=

1[F(x)+G(x)] 其中F(x) =f(x)+f(x), G(x) =f(x)－f(x) 2二、函数的周期性

1、定义：对于函数yf(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有

f(xT)f(x)成立，那么就把函数yf(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果

所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、定义的变形和引申

（1）函数

yf(x)满足如下关系式，则f(x)的周期为2T

A、f(xT)f(x) B、f(xT) C、f(xkk 或f(xT)f(x)f(x)T1f(x)T1f(x))或f(x)（等式右边加负号亦成立） 21f(x)21f(x) D、其他情形

（2）函数

yf(x)满足f(ax)f(ax)且f(bx)f(bx)，则可推出

f(x)f(2ax)f[b(2axb)]f[b(2axb)]f[x2(ba)]即可以得到yf(x)的周期为

2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”

（3）◆如果奇函数满足

f(xT)f(x)则可以推出其周期是2T，且可以推出对称轴为

xT2kT(kz)，根据f(x)f(x2T)可以找出其对称中心为(kT，0)(kz)（以上T0） 2 ◆如果偶函数满足f(xT)f(x)则亦可以推出周期是2T，且可以推出对称中心为

(T2kT,0)(kz)，根据f(x)f(x2T)可以推出对称轴为xT2kT(kz) 2 （以上T0）

（4） ◆如果奇函数

yf(x)满足f(Tx)f(Tx)（T0），则函数yf(x)是以4T为周期的周期性函

数。

◆如果偶函数yf(x)满足f(Tx)f(Tx)（T0），则函数yf(x)是以2T为周期的周期性函数。 ☆两个函数的图象对称性

8

yf(x)与yf(x)关于x轴对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(x)，即它们关于y0对称。

yf(x)与yf(x)关于y轴对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(x)，即它们关于x0对称。

yf(x)与yf(2ax)关于直线xa对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(2ax)，即它们关于xa对称。

yf(x)与y2af(x)关于直线ya对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(x)2a，即它们关于ya对称。

yf(x)与y2bf(2ax)关于点(a,b)对称。

【换种说法】yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(2ax)2b，即它们关于点(a,b) 对称。yf(ax)与yf(xb)关于直线xab对称。 2【典型例题】

1a是奇函数,则a____________. x21例2．（2008福建文科高考试题）函数f(x)x3sinx1(xR)，若f(a)2，则f(a)的值为

例1．（2009高考(重庆理)）若f(x)

A．3 B．0 C．-1 D．-2

例3．（2010江苏卷）设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数，则实数a=__________ 例4．（2009高考(江西文)）已知函数f(x)是(,)上的偶函数，若对于x0，都有，且当x[0,2)时，f(x)log2(x1)，则f(2008)f(2009)值为（ ） f(x2)f(x）A．2

B．1

C．1 D．2 例5．（安徽省合肥八中2008-2009学年高三第二次月考）设定义在R上的函数f(x)满足

f(x)f(x2)13,若f(1)2,则f(99)（ ）A.13 B.2 C.

13 2D.

2 13例6．（2010广东理数）3．若函数f（x）=3x+3-x与g（x）=3x-3-x的定义域均为R，则（ ） A．f（x）与g（x）均为偶函数 B. f（x）为偶函数，g（x）为奇函数 C．f（x）与g（x）均为奇函数 D. f（x）为奇函数，g（x）为偶函数

例7．（江苏省海门市2009届高三第一次诊断性）已知函数yf(x)的图象与函数g(x)log2(x2x2)的图象关于直线x2对称，则f(3)__________.

9

例8．（江苏省扬州中学2008-2009学年高一第一学期10月份月考）已知定义在R上的函数yfx满足f2xf2x.,若方程fx0有且仅有三个根，且x0为其一个根，则其它两根为___________。 例9．（安徽省宣城中学2008-2009学年第一学期高三理科期中）对于定义在R上的函数f(x)，有下述四个命题：

①若f(x)是奇函数，则f(x1)的图象关于点A（1，0）对称；

②若对xR，有f(x1)f(x1)，则yf(x)的图象关于直线x1对称； ③若函数f(x1)的图象关于直线x1对称，则f(x)为偶函数； ④函数yf(1x)与函数yf(1x)的图象关于直线x1对称。 其中正确命题的序号为__________（把你认为正确命题的序号都填上） 例10．（2009全国卷Ⅱ文）函数y=ylog22x的图像( ) 2x （A） 关于原点对称 （B）关于主线yx对称 （C） 关于y轴对称 （D）关于直线yx对称

例11．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x1)f(x),且f(x)在－１，0上是增函数，下列五个关于f(x)的命题中

②f(x)的图象关于x1对称；

①f(x)是周期函数；

③f(x)在［0，1］上是增函数 ④f(x)在［1，2］上是减函数；⑤f(2)f(0) 正确命题的个数是（ ）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

例12．（2010北京文数）⑷若a,b是非零向量，且ab，ab，则函数f(x)(xab)(xba) 是（ ）

（A）一次函数且是奇函数 （B）一次函数但不是奇函数 （C）二次函数且是偶函数 （D）二次函数但不是偶函数

例13．（2009全国卷Ⅰ理）函数f(x)的定义域为R，若f(x1)与f(x1)都是奇函数，则( ) (A) f(x)是偶函数 (B) f(x)是奇函数 (C) f(x)f(x2) (D) f(x3)是奇函数 例14．（2008安徽）若函数f(x),g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)g(x)ex， 则有（ ）A．f(2)f(3)g(0) B．g(0)f(3)f(2) C．f(2)g(0)f(3) D．g(0)f(2)f(3) 题型七：函数图像

10

☆具体要求：

1．掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法．

2．会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题． 3．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题．

4．掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力．

y 1 O 1 A y 1 O1y 1 O1 x C O y 1 x 1 D

x x B exex例1. (2009山东卷理)函数yxx的图像大致为( ).

ee例2.（2009安徽卷理）设a＜b,函数y(xa)2(xb)的图像可能是( ).

例4．函数ye|lnx||x1|的图象大致是（ ）

例5．（2009江西）如图所示，一质点P(x,y)在xOy平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在x轴上的

y投影点Q(x,0)的运动速度VV(t)的图象大致为

11

OP(x,y)Q(x,0)

V(t)V(t)V(t)V(t)OtOtOtO A B C D

π例6．（2008山东卷3）函数y＝lncosx(-＜x＜)的图象是( )

22

题型八：函数性质的综合应用

高考对这部分内容考查的重点有：①函数的奇偶性、单调性和周期性；②函数与不等式结合；③函数

与方程的综合；④函数与数列综合；⑤函数与向量的综合；⑥函数类型的应用题等．

例1. 一给定函数yf(x)的图象在下列图中，并且对任意a1(0,1)，由关系式an1f(an)得到的数列{an}满足an1an(nN*)，则该函数的图象是

1

y

y 1 1 x y 1 1 x y 1 1 x O 1 （A） （B） （C） （D） 例2.已知yf(x)是定义在R上的单调函数，实数x1x2，1,a|f(x1)f(x2)||f()f()|，则（ ）

xO O O x1x2xx1,2，若

11 （A）0 （B）0 （C）01 （D）1

例3.（2009江西卷理）设函数f(x)ax2bxc(a0)的定义域为D，若所有点(s,f(t))(s,tD)构成一个正方形区域，则a的值为（ ）A．2 B．4 C．8 D．不能确定 例4. 56.(2009湖南卷理)设函数yf(x)在（，+）内有定义。对于给定的正数K，定义函数

f(x),f(x)K 取函数f(x)=2xe1。若对任意的x(,)，恒有fk(x)=f(x)，则（ ） fk(x)K,f(x)K12

A．K的最大值为2 B. K的最小值为2 x 1 C．K的最大值为1 D. K的最小值为1

例5.在y2x,ylog2x,yx2,ycos2x这四个函数中，当0x1x21时，使

f(x1x2f(x1)f(x2)恒成立的函数的个数是（ ） )22 A．1 B．2 C．3 D．4

例6.（2009福建卷理）函数f(x)axbxc(a0)的图象关于直线x2b对称。据此可推测，对任意2a的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程mf(x)nf(x)p0的解集都不可能是 A. 1,2 B 1,4 C 1,2,3,4 D 1,4,16,64

二．函数与方程的思想方法

函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。

例1.(2009山东卷理)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x4)f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1x2x3x4_________. 例2.（2008湖北理）已知函数f(x)x22xa,f(bx)9x26x2,其中xR,a,b为常数，则方程

f(axb)0的解集为 .

例3.（2010天津文数）（4）函数f（x）=exx2的零点所在的一个区间是 (A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2）

例4.（2010全国卷1理数）(15)直线y1与曲线yx2xa有四个交点，则a的取值范围是 . 例5.（2009江西卷文）若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2A．1或-25217257 B．1或 C．或- D．或7 644464415x9都相切，则a等于 4例6.（2009辽宁卷理）若x1满足2x+2x=5, x2满足2x+2log2(x－1)=5, x1+x2＝（ ） （A）

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57 (B)3 (C) (D)4 22