泸溪外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

泸溪县外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． P是双曲线

=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则△PF1F2

的内切圆圆心的横坐标为（ ）

A．a B．b

C．c

D．a+b﹣c

2． 若复数

（a∈R，i为虚数单位位）是纯虚数，则实数a的值为（ ）

A．﹣2 B．4 C．﹣6 D．6

3． 下面各组函数中为相同函数的是（ ）

A．f（x）=

，g（x）=x﹣1

B．f（x）=

，g（x）=

C．f（x）=ln ex与g（x）=elnx D．f（x）=（x﹣1）0与g（x）=

4． 若，则等于（ ）

A．

B．

C．

D．

5． 已知命题p：∃x∈R，cosx≥a，下列a的取值能使“￢p”是真命题的是（ ） A．﹣1 B．0 C．1

D．2

6． 在等差数列中，已知，则

（ ）

A．12

B．24

C．36

D．48

7． 若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为( A5 B4 C3 D2

8． 函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=ex关于y轴对称，则f（x）=（ A．ex+1 B．ex﹣1 C．e﹣x+1 D．e﹣x﹣1

9． 已知i为虚数单位，则复数

所对应的点在（ ）

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)

）精选高中模拟试卷

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．由直线

与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）

A B1 CD

11．下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况，其中有一个数字模糊不清，在图中以m表示．若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么m的可能取值集合为（ ）

A．

B．

C．

D．D．x=﹣

12．在抛物线y2=2px（p＞0）上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为（ ） A．x=1 B．x= C．x=﹣1

二、填空题

13．已知圆C的方程为xy2y30，过点P1,2的直线与圆C交于A,B两点，若使AB

22最小则直线的方程是 ．

14．在ABC中，已知sinA:sinB:sinC3:5:7，则此三角形的最大内角的度数等 于__________.

15．将曲线C1:y2sin(x最小值为_________.

16．已知函数y=f（x），x∈I，若存在x0∈I，使得f（x0）=x0，则称x0为函数y=f（x）的不动点；若存在x0∈I，使得f（f（x0））=x0，则称x0为函数y=f（x）的稳定点．则下列结论中正确的是 ．（填上所有正确结论的序号）

①﹣，1是函数g（x）=2x2﹣1有两个不动点；

②若x0为函数y=f（x）的不动点，则x0必为函数y=f（x）的稳定点； ③若x0为函数y=f（x）的稳定点，则x0必为函数y=f（x）的不动点； ④函数g（x）=2x2﹣1共有三个稳定点；

⑤若函数y=f（x）在定义域I上单调递增，则它的不动点与稳定点是完全相同．

4),0向右平移

个单位后得到曲线C2，若C1与C2关于x轴对称，则的6第 2 页，共 14 页

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17．如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则成绩较为稳定（方差较小）的运动员是 ．

18．对任意实数x，不等式ax2﹣2ax﹣4＜0恒成立，则实数a的取值范围是 ．

三、解答题

19．已知向量=（

，1），=（cos，

），记f（x）=

．

（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间； （2）将函数y=f（x）的图象向右平移的零点个数．

20．已知斜率为2的直线l被圆x2+y2+14y+24=0所截得的弦长为

21．已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=如图所示的几何体σ． （1）求几何体σ的表面积；

（2）点M时几何体σ的表面上的动点，当四面体MABD的体积为

，DC=2AB=2BC=2

个单位得到y=g（x）的图象，讨论函数y=g（x）﹣k在

，求直线l的方程．

，以直线AD为旋转轴旋转一周得到

，试判断M点的轨迹是否为2个菱形．

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22．已知矩阵M坐标．

23．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系． （Ⅰ）求圆C的参数方程；

（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．

所对应的线性变换把点A（x，y）变成点A′（13，5），试求M的逆矩阵及点A的

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24．设f（x）=ax2﹣（a+1）x+1 （1）解关于x的不等式f（x）＞0；

（2）若对任意的a∈[﹣1，1]，不等式f（x）＞0恒成立，求x的取值范围．

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泸溪县外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：如图设切点分别为M，N，Q， 则△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标与Q横坐标相同． 由双曲线的定义，PF1﹣PF2=2a． ∵F1Q+F2Q=F1F2=2c，

∴F2Q=c﹣a，OQ=a，Q横坐标为a． 故选A．

由圆的切线性质PF1﹣PF2=FIM﹣F2N=F1Q﹣F2Q=2a，

【点评】本题巧妙地借助于圆的切线的性质，强调了双曲线的定义．

2． 【答案】C

【解析】解：复数故选C．

=

，它是纯虚数，则a=﹣6．

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的分类，是基础题．

3． 【答案】D

【解析】解：对于A：f（x）=|x﹣1|，g（x）=x﹣1，表达式不同，不是相同函数；

对于B：f（x）的定义域是：{x|x≥1或x≤﹣1}，g（x）的定义域是{x}x≥1}，定义域不同，不是相同函数；

对于C：f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是{x|x＞0}，定义域不同，不是相同函数； 对于D：f（x）=1，g（x）=1，定义域都是{x|x≠1}，是相同函数；

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故选：D．

【点评】本题考查了判断两个函数是否是同一函数问题，考查指数函数、对数函数的性质，是一道基础题． 4． 【答案】B

【解析】解：∵， ∴

，

∴（﹣1，2）=m（1，1）+n（1，﹣1）=（m+n，m﹣n） ∴m+n=﹣1，m﹣n=2， ∴m=，n=﹣， ∴故选B．

【点评】用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题等．

5． 【答案】D

【解析】解：命题p：∃x∈R，cosx≥a，则a≤1． 下列a的取值能使“￢p”是真命题的是a=2． 故选；D．

6． 【答案】B 【解析】，所以

答案：B

7． 【答案】C 数为3. 8． 【答案】D

xx

【解析】解：函数y=e的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y=e﹣，

x

而函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e的图象关于y轴对称，

，故选B

【解析】由已知，得{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}，所以集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个

所以函数f（x）的解析式为y=e﹣（

x+1）

=e﹣x﹣1．即f（x）=e﹣x﹣1．

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故选D．

9． 【答案】A 【解析】解：故选：A．

10．【答案】D

=

=1+i，其对应的点为（1，1），

【解析】由定积分知识可得11．【答案】C

【解析】【知识点】样本的数据特征茎叶图 【试题解析】由题知：所以m可以取：0，1，2． 故答案为：C

12．【答案】C

【解析】解：由题意可得抛物线y2=2px（p＞0）开口向右， 焦点坐标（，0），准线方程x=﹣，

由抛物线的定义可得抛物线上横坐标为4的点到准线的距离等于5， 即4﹣（﹣）=5，解之可得p=2 故抛物线的准线方程为x=﹣1． 故选：C．

，故选D。

【点评】本题考查抛物线的定义，关键是由抛物线的方程得出其焦点和准线，属基础题．

二、填空题

13．【答案】xy30 【解析】

试题分析：由圆C的方程为xy2y30，表示圆心在C(0,1)，半径为的圆，点P1,2到圆心的距

22离等于2，小于圆的半径，所以点P1,2在圆内，所以当ABCP时，AB最小，此时

kCP1,k11，由点斜式方程可得，直线的方程为y2x1，即xy30.

考点：直线与圆的位置关系的应用. 14．【答案】120

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【解析】

考

点：解三角形．

【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理、余弦定理的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于基础题，本题的解答中根据

sinA:sinB:sinC15．【答案】6

3:5，根据正弦定理，可设:7a3,b5,7，即可利用余弦定理求解最大角的余弦，

熟记正弦、余弦定理的公式是解答的关键．

【解析】解析：曲线C2的解析式为y2sin[(x)]2sin(x)，由C1与C2关于x轴对

6446称知sin(x)sin(x)，即1cos()sin(x)sin()cos()0x对一切

46464641cos()06xR恒成立，∴∴(2k1)，∴6(2k1),kZ，由0得的最小值为6.

6sin()0616．【答案】 ①②⑤

【解析】解：对于①，令g（x）=x，可得x=定点，故②正确；

222

对于③④，g（x）=2x﹣1，令2（2x﹣1）﹣1=x，因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解x=﹣，

或x=1，故①正确；

对于②，因为f（x0）=x0，所以f（f（x0））=f（x0）=x0，即f（f（x0））=x0，故x0也是函数y=f（x）的稳

1，

2

由此因式分解，可得（x﹣1）（2x+1）（4x+2x﹣1）=0

还有另外两解

不动点，故③④错误；

，故函数g（x）的稳定点有﹣，1，，其中是稳定点，但不是

对于⑤，若函数y=f（x）有不动点x0，显然它也有稳定点x0；

若函数y=f（x）有稳定点x0，即f（f（x0））=x0，设f（x0）=y0，则f（y0）=x0 即（x0，y0）和（y0，x0）都在函数y=f（x）的图象上，

假设x0＞y0，因为y=f（x）是增函数，则f（x0）＞f（y0），即y0＞x0，与假设矛盾； 假设x0＜y0，因为y=f（x）是增函数，则f（x0）＜f（y0），即y0＜x0，与假设矛盾；

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故x0=y0，即f（x0）=x0，y=f（x）有不动点x0，故⑤正确． 故答案为：①②⑤．

【点评】本题考查命题的真假的判断，新定义的应用，考查分析问题解决问题的能力．

17．【答案】 甲 ．

【解析】解：【解法一】甲的平均数是方差是

=（87+89+90+91+93）=90，

= [（87﹣90）2+（89﹣90）2+（90﹣90）2+（91﹣90）2+（93﹣90）2]=4；

=（78+88+89+96+99）=90，

乙的平均数是方差是∵

＜

= [（78﹣90）2+（88﹣90）2+（89﹣90）2+（96﹣90）2+（99﹣90）2]=53.2； ，∴成绩较为稳定的是甲．

【解法二】根据茎叶图中的数据知，

甲的5个数据分布在87～93之间，分布相对集中些，方差小些； 乙的5个数据分布在78～99之间，分布相对分散些，方差大些； 所以甲的成绩相对稳定些． 故答案为：甲．

【点评】本题考查了平均数与方差的计算与应用问题，是基础题目．

18．【答案】 （﹣4，0] ．

【解析】解：当a=0时，不等式等价为﹣4＜0，满足条件； 当a≠0时，要使不等式ax2﹣2ax﹣4＜0恒成立， 则满足即∴

， ，

解得﹣4＜a＜0，

综上：a的取值范围是（﹣4，0]． 故答案为：（﹣4，0]．

【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，注意要对二次项系数进行讨论．

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三、解答题

19．【答案】

，1），=（cos，=

sin+cos+=sin（+

， ，k∈Z．

，4kπ+

]，k∈Z；

），记f（x）=）+，

．

【解析】解：（1）∵向量=（∴f（x）=∴最小正周期T=2kπ﹣则4kπ﹣

≤+

cos+=4π， ≤2kπ+

≤x≤4kπ+

故函数f（x）的单调递增区间是[4kπ﹣（2））∵将函数y=f（x）=sin（+：y=g（x）=sin[（x﹣

+

）+的图象向右平移

）+，

个单位得到函数解析式为

）]+ =sin（﹣）+﹣k，

∴则y=g（x）﹣k=sin（x﹣∵x∈[0，

]，可得：﹣

≤x﹣≤π，

∴﹣≤sin（x﹣∴0≤sin（x﹣

）≤1， ）+≤，

∴若函数y=g（x）﹣k在[0，

∴实数k的取值范围是[0，]．

]上有零点，则函数y=g（x）的图象与直线y=k在[0，

]上有交点，

∴当k＜0或k＞时，函数y=g（x）﹣k在当0≤k＜1时，函数y=g（x）﹣k在当k=0或k=时，函数y=g（x）﹣k在点的判断方法，考查计算能力．

20．【答案】

的零点个数是0；

的零点个数是2；

的零点个数是1．

【点评】本题是中档题，考查向量的数量积的应用，三角函数的化简求值，函数的单调增区间的求法，函数零

22

【解析】解：将圆的方程写成标准形式，得x+（y+7）=25，

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所以，圆心坐标是（0，﹣7），半径长r=5．… 因为直线l被圆所截得的弦长是所以，弦心距为

即圆心到所求直线l的距离为所以圆心到直线l的距离为因此，

．…

，… ，

，

因为直线l的斜率为2，所以可设所求直线l的方程为y=2x+b，即2x﹣y+b=0．

解得b=﹣2，或b=﹣12．… 即2x﹣y﹣2=0，或2x﹣y﹣12=0．… 与弦长一半的平方的和的灵活运用．

21．【答案】

【解析】解：（1）根据题意，得； 该旋转体的下半部分是一个圆锥，

所以，所求直线l的方程为y=2x﹣2，或y=2x﹣12．

【点评】本题主要考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，在相交时半径的平方等于圆心到直线的距离平方

上半部分是一个圆台中间挖空一个圆锥而剩下的几何体， 其表面积为S=或S=

×4π×2

+×

×2=8×（4π×2

π， ﹣2π×

）+

×2π×

=8

π；

×4π×2

（2）由已知S△ABD=

×2×sin135°=1，

，只要M点到平面ABCD的距离为1，

因而要使四面体MABD的体积为

因为在空间中有两个平面到平面ABCD的距离为1，

它们与几何体σ的表面的交线构成2个曲边四边形，不是2个菱形．

【点评】本题考查了空间几何体的表面积与体积的计算问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是综合性题目．

22．【答案】

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【解析】解：依题意，由M=从而由

=

得

═

1

得|M|=1，故M﹣=

=

故A（2，﹣3）为所求．

【点评】此题考查学生会求矩阵的逆矩阵及掌握矩阵的线性变换，考查学生的计算能力，比较基础．

23．【答案】

【解析】（本小题满分10分）选修4﹣4：坐标系与参数方程

2

解：（Ⅰ）因为ρ=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6， 22

所以x+y=4x+4y﹣6， 22

所以x+y﹣4x﹣4y+6=0，

22

即（x﹣2）+（y﹣2）=2为圆C的普通方程．…

所以所求的圆C的参数方程为（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，当

（θ为参数）．…

…

时，即点P的直角坐标为（3，3）时，…x+y取到最大值为6．…

24．【答案】

【解析】解：（1）f（x）＞0，即为ax﹣（a+1）x+1＞0，

2

即有（ax﹣1）（x﹣1）＞0，

当a=0时，即有1﹣x＞0，解得x＜1； 当a＜0时，即有（x﹣1）（x﹣）＜0， 由1＞可得＜x＜1；

2

当a=1时，（x﹣1）＞0，即有x∈R，x≠1；

当a＞1时，1＞，可得x＞1或x＜； 当0＜a＜1时，1＜，可得x＜1或x＞． 综上可得，a=0时，解集为{x|x＜1}； a＜0时，解集为{x|＜x＜1}； a=1时，解集为{x|x∈R，x≠1}；

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a＞1时，解集为{x|x＞1或x＜}； 0＜a＜1时，解集为{x|x＜1或x＞}．

（2）对任意的a∈[﹣1，1]，不等式f（x）＞0恒成立，

2

即为ax﹣（a+1）x+1＞0，

即a（x﹣1）﹣x+1＞0，对任意的a∈[﹣1，1]恒成立．

2

2

设g（a）=a（x﹣1）﹣x+1，a∈[﹣1，1]．

则g（﹣1）＞0，且g（1）＞0，

22

即﹣（x﹣1）﹣x+1＞0，且（x﹣1）﹣x+1＞0，

即（x﹣1）（x+2）＜0，且x（x﹣1）＞0， 解得﹣2＜x＜1，且x＞1或x＜0． 可得﹣2＜x＜0．

故x的取值范围是（﹣2，0）．

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