高考数学 102 排列与组合提素能高效训练 新人教A版 理

人教A版 理 \"

[A组 基础演练·能力提升]

一、选择题

1．A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有( )

A．24种 C．90种

3

B．60种 D．120种

解析：可先排C、D、E三人，共A5种排法，剩余A、B两人只有一种排法，由分步计数原理满足条件的排法共A5＝60(种)．

答案： B

2．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )

A．60种 C．65种

B．63种 D．66种

3

解析：对于4个数之和为偶数，可分三类，即4个数均为偶数，2个数为偶数2个数为奇数，4个数均为奇数，因此不同的取法共有C4＋C4C5＋C5＝66种．

答案：D

3．(2014年武昌调研)将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有( )

A．12种 C．36种

B．24种 D．48种

2

4

22

4

解析：先分组再排列：将4名教师分成3组有C4种分法，再将这三组分配到三所学校有A3种分法，由分步乘法计数原理，知一共有C4·A3＝36种不同分配方案．

答案：C

4．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )

A．10种 C．20种

解析：采用分类讨论法求解．

由题意知比赛场数至少为3场，至多为5场．

B．15种 D．30种

3

2

3

1

当为3场时，情况为甲或乙连赢3场，共2种．

当为4场时，若甲赢，则前3场中甲赢2场，最后一场甲赢，共有C3＝3(种)情况；同理，若乙赢也有3种情况．共有6种情况．

当为5场时，前4场，甲、乙各赢2场，最后1场胜出的人赢，共有2C4＝12(种)情况． 由上综合知，共有20种情况． 答案：C

5．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐标有( ) A．36种 C．72种

B．48种 D．96种

22

解析：恰有两个空位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先将三人排列，然后插空．从而共A3·A4＝72种排坐法．

答案：C

6．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是( )

A．258 C．336

B．306 D．296

3

2

解析：根据题意，每级台阶最多站2人，所以，分两类：第一类，有2人站在同一级台阶，共有C3A7种不同的站法；第二类，一级台阶站1人，共有A7种不同的站法．根据分类加法计数原理，得共有C3A7＋A7＝336(种)不同的站法．

答案：C 二、填空题

7．(2014年长春模拟)用1,2,3, 4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数字夹在两个奇数字之间的四位数的个数为________．

解析： A2·C2A2＝8种． 答案：8

8．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)

解析：按C的位置分类计算．

①当C在第一或第六位时，有A5＝120种排法； ②当C在第二或每五位时，有A4·A3＝72种排法； ③当C在第三或第四位时，有A2A3＋A3A3＝48种排法． 所以共有2×(120＋72＋48)＝480(种)排法． 答案：480

9．从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，

2

23

23

2

35

2

12

22

3

22

3

则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________(用数字作答)

解析：分类计算：①5人中3名骨科，1名外科，1名内科，有C3·C4C5＝20(种)选法； ②5人中1名骨科，3名外科，1名内科，有C3C4C5＝60(种)选法； ③5人中1名骨科，1名外科，3名内科，有C3C4C5＝120(种)选法； ④5人中2名骨科，2名外科，1名内科，有C3C4C5＝90(种)选法； ⑤5人中2名骨科，1名外科，2名内科，有C3C4C5＝120(种)选法； ⑥5人中1名骨科，2名外科，2名内科，有C3C4C5＝180(种)选法； 所以总的选法数为20＋60＋120＋90＋120＋180＝590(种)． 答案：590 三、解答题

10．某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，求该外商不同的投资方案有多少种？

解析：可先分组再分配，根据题意分两类，一类：先将3个项目分成两组，一组有1个项目，另一组有2个项目，然后再分配给4个城市中的2个，共有C3A4种方案；另一类1个城市1个项目，即把3个元素排在4个不同位置中的3个，共有A4种方案．由分类加法计数原理可知共有C3A4＋A4＝60种方案．

11．7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种． (1)A，B必须当选； (2)A，B必不当选； (3)A，B不全当选； (4)至少有2名女生当选；

(5)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任．

解析：(1)由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，故有C10＝120种选法．

(2)从除去的A，B两人的10人中选5人即可，故有C10＝252种选法．

(3)全部选法有C12种，A，B全当选有C10种，故A，B不全当选有C12－C10＝672种选法． (4)注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行．所以有C12－C5·C7－C7＝596种选法．

(5)分三步进行：

第1步，选1男1女分别担任两个职务有C7·C5种选法． 第2步，选2男1女补足5人有C6·C4种选法．

第3步，为这3人安排工作有A3方法．由分步乘法计数原理，共有C7C5·C6C4·A3＝12 600种选法．

3

3

11

21

3

2

1

1

1

5

1

4

55

3

5

3

5

3

22

3

3

22

122212221113131

3

11

12．(能力提升)已知10件不同产品有4件次品，现对它们进行一一测试，直至找到所有次品为止．

(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品的不同测试方法数有多少种？

(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数有多少种？ 解析：(1)先排前4次测试，只能取正品，有A6种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C4A2＝A4种测法，再排余下4件的测试位置，有A4种测法．所以共有不同的测试方法A6A4A4＝103 680(种)．

(2)第5次测试恰找到最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有1件正品出现．所以共有不同测试方法C6C4A4＝576(种)．

[B组 因材施教·备选练习]

1．某教师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课(第5和第6节不算连上)，那么这位教师一天的课的所有排法有( )

A．474种 C．462种

B．77种 D．79种

3

134424

22

2

4

4

解析：首先求得不受时，从9节课中任意安排3节，有A9＝504种排法，其中上午连排3节的有3A3＝18种，下午连排3节的有2A3＝12种，则这位教师一天的课程表的所有排法有504－18－12＝474种，故选A.

答案：A

2．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数字，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有( )

A．120个 C．40个

解析：解法一 可分两步：

第1步，从6个数字中任取3个数字，有C6种不同的取法；

第2步，将选出的3个数字中的最大数字排到十位上，其余2个数字有A2种不同的排法． 根据分步乘法计数原理，共有C6A2＝40个不同的“伞数”． 解法二 可分四类：

第1类，当十位数为6时，有A5个不同的“伞数”； 第2类，当十位数为5时，有A4个不同的“伞数”； 第3类，当十位数为4时，有A3个不同的“伞数”； 第4类，当十位数为3时，有A2个不同的“伞数”；

4

222232

2

3

3

3

B．80个 D．20个

根据分类加法计数原理，共有A5＋A4＋A3＋A2＝40个不同的“伞数”． 答案：C

3．(2014年呼和浩特模拟)奥运选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在1、2、3、4、5、6、7、8跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种．

解析：分两步安排这8名运动员．

第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1、3、5、7四条跑道可安排，所以安排方式有4×3×2＝24(种)．

第二步：安排另外5人，可在2、4、6、8及余下的一条奇数号跑道上安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120(种)．

∴安排这8人的方式有24×120＝2 880(种)． 答案：2 880

2222

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