２０１５年１１月 渭南师范学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｗｅｉｎａｎ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ＮＯＶ．２０１５ 第３０卷第２２期 Ｖｏ１．３０ Ｎｏ．２２ 【自然科学基础理论研究】 水力学模型及其数值求解 孙 右 （渭南师范学院数理学院，陕西渭南７１４０９９） 摘要：介绍了水力学模型及其数值计算的概念，水力学基本控制方程，讨论了观测实验、理论分析和数值模拟等水力 学应用问题的研究方法。阐述了有限差分法、有限元法、有限体积法、有限分析法等数值离散方法的优缺点，对其在水力学 数值模拟计算中的优劣性和适用范围进行了比较分析． 关键词：水力学：数学模型；有限差分 中图分类号：０３５２ 收稿日期：２０１５—０７—１８ 文献标志码：Ａ 文章标号：１００９－５１２８（２０１５）２２—００１７－０４ 基金项目：陕西省军民融合研究基金项目：军民共建流动人口服务管理工作机制（１３ＪＭＲ１０） 作者简介：孙广才（１９５８一），男，陕西大荔人，渭南师范学院数理学院教授，工学博士，主要从事计算水力学研究． 水力学模型一般由一组微分方程组成，其绝大多数是非线性的．水力学问题的主要研究方法有观测实 验、理论分析和数值模拟等几种方法． 计算水力学是以水力学基本方程为基础建立数学模型的方法来研究自然界和水利工程中的水流现 象，以及伴随着水体流动所发生的热输运、物质输运等问题．通过对水流数学模型的分析与求解，研究其规 律，以便准确地预测和控制水流及其输运现象．这在国家的水利建设、环境保护、工程管理、防止洪水灾害 等国民经济的许多领域，都有着重要的作用和意义． １水力学的基本方程 １．１守恒定律 ］ （１）质量守恒（连续方程） ＋ｄｉ （ＪＤ ）＝０． 其中： 为水流的瞬时速度场，Ｐ为密度． 写成张量形式为： （１） 竺＋ ｄｔ ０ｘｉ ：ｏ． （２） 其中： （ ＝１，２，３）对应于坐标 ，Ｙ和 ；ｖｉ为水流的瞬时速度 方向的分量，对应于ｕ， 和Ｗ． 流体密度Ｐ近似为常数，即Ｏｐ／Ｏｔ＝０，这时称为不可压粘性流动．此时（１）简化为： （ ）：０或 ｏｘｉ ：ｏ． （２）动量守恒（Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ方程） 水流动量守恒的微分方程，即Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程．其张量形式为： 望＋ ＋ ＋／Ｚ， ：一 ——十 ——＝一————十 ——十 ．ｔｇｔ Ｊ ａ ｉ Ｐ ｃｇｘｔ Ｏｘｊｘ￣ ． （３）（ｊ Ｊ 、。 其中： ：１，２，３）对应于坐标 ，Ｙ和 ； ，对应于 ， 和 ； 。 Ｏｔ 为时间变化率， ｆ 为位移变化率； ｄ ． ・ｌ８・ 孙广才：水力学模型及其数值求解 第３Ｏ卷 Ｐ为动水压强； 为运动粘滞系数； 表示单位质量力． （３）输运物质守恒和热量守恒 设 为水流的瞬时速度场，ｃ为水流挟带的污染物质或悬移质的浓度，则Ｃ的守恒可表示为： ＋ｄｉ （ ＋Ｊｃ）＝ｓ ． （４） 由Ｊｃ＝一Ｆ ｇｒａｄｃ（Ｆ 为扩散系数）得，方程张量形式为： 誊＋—ａ—十 妾“ —Ｏｘ一 —＝一—Ｐ— ——十Ｏｘ Ｏｘ ．． ． 将浓度Ｃ换成温度 ，则得到热量守恒方程： ＯＴ＋Ｕ ——十ａｔ Ｊ．——＝一———— Ｏｘ一 Ｄ Ｏｘ Ｏｘ 十 ｌ． ：（、 ５）） （６）Ｉ Ｏ） 、 其中：Ｊｒ＝一Ｆ ｇｒａｄＴ（Ｆｏｕｒｉｅｒ热传导定律）． １．２二维浅水方程［ 描述流体运动的最基本的方程是所谓的连续性方程和运动方程．其中主要的是Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程．也 叫做Ｎ－Ｓ方程．根据不同的研究对象和条件，这些方程又有各种不同的变形，这里仅举一例． 水流运动的二维浅水方程如下： Ｏｈ一＋ Ｏｘ ＯＵ＋ ａｖ ＯＵ：０． Ｏｔ ＯＵ＋ ＋ 一 一ｇ 一丁— 一＋ｒｔ２ｕ￣ｕ２＋１３２＋ ＋ 一Ｊ熹（ Ｏｘ］＋ （ ｌ Ｊ尼 ＯＵ）， （７） 号 ＋“ ＋ＯＶ ＋ Ｏ 一 Ｖ＝一 Ｏ 一ｇ ｈ一Ｄ丁—■ 一一，２Ｖ￣Ｕ２．４－１）２一 ＋／ ＋ （ ｊ ７ａｘ ）＋ （ 【 ７ａｙ ］Ｊ．‘ Ｏｈ＋ ＋ ＝一 其中：ｈ为水深； 、 分别为笛卡儿坐标下ｘ，ｙ方向沿水深的平均速度；ｇ是重力加速度；凡是曼宁糙率系 数；ｋ是紊动扩散系数；ｆ是地转参数 ＝２ｗｓｉｎ０，Ｗ是地球的自转速度， 是纬度． （７）式中，第一个方程是连续性方程，后两个为运动方程． ２水力学应用问题的研究方法 水力学中各种复杂流动现象的主要研究方法有：观测实验、理论分析和数值模拟等几种方法＿１］． 原型观测是认识自然现象的基础和来源，其观测结果最直观、真实，不存在模型缩尺问题。能够提供实 验研究、数值模拟和最后验证所需的参数及数据．实验研究是根据相似理论进行物理模拟试验，用特定测 量技术观测流动参数，分析、处理实验数据．其相似准则可从各物理量的理论表达式中导出，实验结果可为 数值模拟提供需要的计算参数．常用的实验有：水池实验、水洞实验等．观测实验法的优点是物理现象和测 试结果最直观、真实，可靠，发现理论和检验理论都需要依靠观测实验的方法．其缺点是实验室实验需要实 验设备，且设备要求高，设计制造周期长：运行费用高；真实模拟物理问题困难，不是所有环境都能满足实 验；观测实验不可重复，不可控制；只能得到有限实验数据且测量存在困难等． 理论分析所揭示的是普遍规律。具有普遍适用性．其中的关键点在于提出理论模型，运用数学方法求 出理论结果．它的优点是能够准确描述和反映流体运动的现象和规律．首先，如果能够通过精确求解描述 水流及其输运现象的微分方程，得到流场中各物理量的表达式，以及全流场的准确信息，这无疑与物理模 拟或数值模拟所得到的局部近似值是不可比拟的，要更为全面和深刻．再者，要证明对特定水力现象的数 值模拟是准确的．需要用理论分析方法对数学模型的正确性和适用性加以证明．最后，还需要用理论分析 工具对数值模拟的结果进行整理和分析．理论分析的缺点是因为数学上的困难，许多实际流动问题难以精 确求解，而且其求解过程繁琐，分析范围有限．只有特定条件下的极少数问题，通过简化其运动方程和边界 ． ２０１５年第２２期 渭南师范学院学报 ・ｌ９・ 条件，可获得解析解．目前，理论分析法对绝大多数的水力学实际问题是无能为力的． 数值模拟也叫作数学模型试验，是指对流体力学的运动方程作简化并进行数值离散，建立数值模型． 编制程序进行数值计算，获得定量描述流体运动的数值解，将计算结果与实验结果作比较． 一般来说，对流体运动的非线性偏微分方程，在无法获得理论精确解的情况下，只能通过数值计算来 求解．这种通过数值计算获得流动区域中离散点的数值解的方法，通常称为流体力学数值解法．随着高速 电子计算机的发展，数值计算方法已经显示出其巨大的优势．计算水力学是以流体力学的基本方程（Ｎ—ｓ 方程）为理论依据，采用离散化的数值方法对流体力学问题进行数值模拟和分析．常用的离散方法有：有限 差分法、有限元法、有限体积法等． 数值方法的优点是所有试验条件都以数字形式给出，不受试验场地和试验仪器的影响：能计算理论分 析方法无法求解的数学方程，模拟多种因素在复杂条件下的物理过程；比实验方法省时省钱，计算结果可 反复使用，具有高效、经济、简便的特点．数值方法的缺点是受数学模型正确性和计算机性能的限制：数值 模拟的可靠性和精度取决于数学方程的离散方法、误差和计算方法；它无法模拟数学方程尚不能描述的物 理现象，难以处理小尺度紊动、拐点和奇点等局部现象；模拟过程不够直观、逼真． ３水力学数值模拟常用方法及比较 ３．１水力学数值模拟常用方法 （１）有限差分法［２］．数值计算中最常用且经典的方法就是有限差分法．它的基本思想是按时间步长和 空间步长对定解区域进行网格划分；将连续的求解区域用有限个网格节点代替，用差商替换导数，把微分 方程离散化为差分方程组，即代数方程组；求解该差分方程组，得到原问题在离散点上的近似解，作为微分 方程定解问题的数值近似解． （２）有限元法［３］．有限元方法在水力学数值计算中有着广泛的应用，其求解问题的基本思路和步骤 为：建立与实际流体控制方程初边值问题等价的积分方程；根据实际问题的物理特点对求解区域进行单元 剖分；根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，确定单元基函数；离散微分方程，通过计算获得含有待 定系数的单元有限元方程；把局部单元总体合成，形成总体有限元方程；求解有限元方程，获得各节点的函 数值．不同的权函数和不同的插值函数形式，构成了不同的有限元方法． （３）有限体积法＿３］．有限体积法的基本思路为：根据实际问题的物理特点对计算区域进行体积划分， 将其划分成若干控制体积，每个节点代表一个控制体积；将实际流体控制方程对每一控制体积积分．可得 到一组离散方程．其中的未知数是网格节点上的因变量的数值． （４）有限分析法［４］．有限分析法是由美国华裔科学家陈景仁教授在１９８０年提出的．其原理是在局部单 元上线性化微分方程和插值近似边界的条件下，求局部单元上的解析解，从而构成整体的线性代数方程 组．有限分析法将解析法与数值法相结合，是计算流体力学的一个进步． ３．２分析 有限差分法的优点是数学概念明确，表达简单，直接将微分问题转化为代数问题；在解的唯一性、收敛 性、稳定性、误差估计等方面的数学基础比较完善，可以根据不同的离散方法得到不同的精度；计算程序简 单．主要缺点是离散方程的守恒性难以保证；对复杂流体区域的适应性较差，可采用贴体坐标系进行变换． 但计算比较复杂． 有限元法适合于椭圆型问题的求解，能够较好地模拟具有复杂区域和物理条件的流场．其主要优点 有：边界适应性强，计算精度高；可任意局部加密；易于实现程序的标准化，通用性强．在函数分析、优化理 论等基础上建立的现代有限元形式下，如果选取特定的权函数，有限元法可以退化为有限差分、有限体积 等方法．有限元在固体力学中获得了巨大的成功，但在流体力学中容易产生稳定性和收敛性方面的问题． 从而制约了有限元法在计算流体力学领域的广泛应用． 有限体积法属于采用局部近似的离散方法，适用于流体计算，可用于不规则网格．它的主要优点是：基 本思路易于理解；离散方程系数的物理意义清晰、明确；离散方程对任一控制体积和整个计算区域守恒．稳 ． 孙广才：水力学模型及其数值求解 第３０卷 定性良好：计算方法成熟。易于编程．其缺点是：计算精度较低． 有限分析法计算精度高，具有自动迎风特性，能准确地模拟对流项，收敛较快，计算稳定性好．其缺点 是单元系数复杂．含有无穷级数．给实际计算和理论分析都带来了一些困难． ３．３ 比较 下面对上述水力学数值模拟中的几种方法进行比较分析．由于水力学数值模拟最常用的方法是有限 体积法和有限差分法．所以主要对这两种方法加以比较：（１）有限体积法的截差是不确定的，有限差分法的 截差是直观的、确定的；（２）有限体积法是对每个控制体积进行积分推导出来的，有限差分法则是直接根 据微分方程推导出来，这是二者最本质的区别；（３）积分时的精度和处理导数的精度共同决定了有限体积 法的精度．一般来说，由于积分的精度限制，有限体积法的精度总体是二阶的．而有限差分法的精度要复杂 得多，一般来说可以比有限体积法的精度更高一些；（４）有限体积法对于守恒型方程的离散方程保持守恒 性，有限差分法则不一定有守恒性；（５）在适应不规则区域及边界的计算方面，有限体积法比有限差分法 有明显的优势；（６）有限体积法和有限差分法在有些情况下导出的形式相同，但概念不同． 有限体积法和有限元法相比，具有守恒性、物理概念明确的优势；其劣势在于计算精度比有限元法要 差． 有限元方法与有限差分法相比，优势在于能更好地适应不规则区域的计算．而在求解效率和收敛速度 方面，有限差分法具有优势． ４结语 ２０世纪后半叶以来，电子计算机的出现和数值计算方法的发展，为数值求解水流数学模型带来了活 力．目前，随着高速计算机的发展，计算水力学正处于快速发展阶段，新的结果层出不穷．但理论还不够成 熟，方法和工具还受到各方面的限制．从数学的观点看，水流（特别是紊流）模型的非线性特征，包含着许多 数学上极富挑战性的理论问题．就计算方法而言，更需要不断地探索和创新，建立新的模型和算法，以满足 解决实际问题之需要．因此，该领域的研究有着广阔的发展空间和广泛的应用前景． 参考文献： ［１］魏文礼．计算水力学理论、方法及应用［Ｍ］．西安：陕西科学技术出版社，２０１０． ［２］李荣华．偏微分方程数值解法［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００５． ［３］刘儒勋，舒其望．计算流体力学的若干新方法［Ｍ］．北京：科学出版社，２００３． ［４］槐文信，赵明登，童汉毅．河道及近海水流的数值模拟［Ｍ］．北京：科学出版社，２００５． 【责任编辑Ｈｙｄｒａｕｌｉｃｓ Ｍｏｄｅｌ ａｎｄ Ｉｔｓ Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｓｏｌｕｔｉｏｎ ＳＵＮ Ｇｕａｎｇ—ｃａｉ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｗｅｉｎａｎ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｗｅｉｎａｎ ７ １４０９９，Ｃｈｉｎａ） 牛怀岗】 Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓ ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｏｆ ｈｙｄｒａｕｌｉｃｓ ｍｏｄｅｌ，ｉｔｓ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｈｙｄｒａｕｌｉｃｓ ｂａｓｉｃ ｃｏｎｔｒｏｌ ｅ— ｑｕａｔｉｏｎ．Ｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ，ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ａｌｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｓｕｃｈ ａｓ ｈｙｄｒａｕｌｉｃｓ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ ａｐｐｌｉｅｄ ｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｉｔ ｅｘｐｏｕｎｄｓ ｔｈｅ ａｄｖａｎｔａｇｅｓ ａｎｄ ｄｉｓａｄｖａｎｔａｇｅｓ ｏｆ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｍｅｔｈｏｄ ｓｕｃｈ ａｓ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｍｅｔｈｏｄ， ｉｆｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ，ｆｉｎｉｔｅ ｖｏｌｕｍｅ ｍｅｔｈｏｄ，ｆｉｎｉｔｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅ ｓｕｐｅｒｉｏｒｉｔｙ ａｎｄ ｉｎｆｅｒｉｏｒｉｔｙ ｉｎ ｔｈｅ ｈｙｄｒａｕｌｉｃ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｉｍｕ— ｌａｔｉｏｎ ａｎｄ ｉｔｓ ａｐｐｌｉｃａｂｌｅ ｓｃｏｐｅ ａｒｅ ｃｏｍｐａｒａｔｉｖｅｌｙ ａｎａｌｙｚｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｈｙｄｒａｕｌｉｃ；ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｍｏｄｅｌ；ｆｉｎｉｔｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｍｅｔｈｏｄ
