高二数学直线与圆的位置关系试题答案及解析

1. 求半径为10，且与直线【答案】【解析】

相切于

或

的圆的方程.

解题思路：设出所求圆的圆心坐标，根据题意可得，进而求出圆的标准方

程.

规律总结：直线圆的位置关系，主要涉及直线与圆相切、相交、相离，在解决直线圆的位置关系时，要注意结合初中平面几何中的直线与圆的知识. 试题解析：设圆心为解得

或

，则由题意得

所以所求圆的方程为或【考点】直线与圆的位置关系.

2. 如图，圆与坐标轴交于点. ⑴求与直线垂直的圆的切线方程；

⑵设点是圆上任意一点（不在坐标轴上），直线

交轴于点，直线交直线于点，

①若点坐标为，求弦的长；②求证：为定值.

【答案】（1），（2）①：2，②：证明略. 【解析】（1）所求直线与垂直，则斜率为负倒数关系，因此可依方程设出所求直线方程，利用圆心到此直线的距离为半径可求出此直线方程；（2）①为常考点，利用弦心距，半径，弦长的一半三者构成勾股定理的关系求解；②设直线的方程为：，把转化为含的代数式进行运算，也可设，把转化为含的代数式进行运算. 试题解析：，直线，⑴设所求切线方程为：，

则

⑵①

：

，所以：

，圆心到直线

；（或由等边三角形

②解法一：设直线由

，得，即，得

的方程为：

，所以，则，所以

； 的距离

，所以弦

的长为

亦可）.

存在，或，

：

为定值． ，将

，，则

代入直线

，得

，

解法二：设

，直线

，则

，又，将

，直线

，

与

交点

，则，，

，代入得，得

为定值.

，所以

【考点】点到线的距离公式，直线的点斜式，斜截式方程，直线与圆相交问题，化归与转化思想

3. 在平面直角坐标系

中，曲线

的参数方程为

，（其中为参数，

的极坐标方程为

），在

极坐标系（以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴）中，曲线

．

（1）把曲线（2）若曲线

和

的方程化为直角坐标方程；

的距离为，求曲线

上恰有三个点到曲线的直角坐标方程． ；曲线

的直角坐标方程为

【答案】（1）曲线

； （2）曲线

的直角坐标方程为：

．

的直角坐标方程为

【解析】（1）对于曲线，把已知参数方程第一式和第二式移向，使等号右边分别仅含

的直角坐标方程；对于曲线

的直角坐标方程． 与直线

平行，且与直线，把

代入极坐标方程

、

，平方作和后可得曲线

的展开式中即可得到曲线

（2）由于圆

的半径为，所以所求曲线

相距时符

合题意．利用两平行直线的距离等于，即可求出，进而得到曲线试题解析：（1）曲线曲线曲线

的参数方程为

；

，即

． 与直线

，即

的直角坐标方程． ，将两式子平方化简得，

的直角坐标方程为：的极坐标方程为

的直角坐标方程为

的半径为，故所求曲线，解得

．故曲线

，

所以曲线

（2）由于圆题意．由

平行，且与直线

．

相距时符合

的直角坐标方程为

【考点】圆的参数方程；直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程．

4. 直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同的交点的一个充分不必要条件为( )． A．m＜1 B．－3＜m＜1 C．－4＜m＜2 D．0＜m＜1

【答案】D

【解析】联立直线与圆的方程得：

，

消去y得：2x2+（2m-2）x+m2-1=0，由题意得：△=（2m-2）2-8（m2-1）=-4（m+1）2+16＞0，

变形得：（m+3）（m-1）＜0，解得：-3＜m＜1，

∵0＜m＜1是-3＜m＜1的一个真子集，∴直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是0＜m＜1．故选D．

【考点】直线与圆相交的性质；以及充分必要条件的判断．

5. 已知椭圆G：

＋y2＝1.过轴上的动点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点．

（1）求椭圆G上的点到直线的最大距离; （2）①当实数时,求A，B两点坐标;

②将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值． 【答案】（1）

；（2）①当

时点平行的直线

的坐标分别为

；② 2

【解析】（1）设出与直线，并与椭圆方程联立消去（或）得

与椭圆相切，的最大距离。（2），由①可知当

关于的一元二次方程，令判别式为0解得的值（应为2个值）。此时直线分析可知取负值时两直线距离最大，此距离即为椭圆上的点到直线①当时，切线的方程为，代入椭圆方程可得坐标。②分析可知

时

。当

时，切线斜率存在设切线方程为

，根据切线与圆相切即圆心

到直线的距离等于半径可得与间的关系式。再将切线方程与椭圆方程联立消去（或）得关于的一元二次方程，可知判别式应大于0且可得根与系数的关系，根据弦长公式可得，根据与间的关系式可消去一个量，可用基本不等式求最值。 （1）设直线得

，（4分）

与直线（6分） .

，点

的坐标分别为

，此时

.（8分）

的距离为椭圆G上的点到直线

的最大距离

，带入椭圆方程

得，

由图形得直线为

（2）①由题意知，当当

时，切线的方程为时，同理可得

.（9分）

．

.（10分）

，则

②当|m|＞1时，设切线的方程为由设. 又由与圆所以由于当因为

时，

，所以，（13分）

相切，得

，即

得

两点的坐标分别为

.（11分）

.（12分）

，

．

且当时，，所以的最大值为2.

【考点】1直线与圆相切；2两线平行时直线的设法；3直线和椭圆的位置关系。

6. 设直线A．

与圆

B．

交于两点，则弦长

C．

（ ）

D．

【答案】D 【解析】因为圆

的圆心

，故所求的弦长

到直线即的距离为，故选D.

【考点】1.直线与圆的位置关系；2.点到直线的距离公式.

7. 已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线的方程． 【答案】切线方程为或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0． 【解析】切线在x轴、y轴上的截距相等，可设切线方程为或x＋y＝a，又根据切线的性质知圆心(－1,2)到切线的距离等于半径，由点到直线的距离公式可得与的值．本题中容易遗漏切线为的形式，此时在两坐标轴的距离也相等为．

2

解: 由方程x＋y2＋2x－4y＋3＝0知圆心为(－1,2)，半径为， 当切线过原点时，设切线方程为

,则

，

∴，即切线方程为．

当切线不过原点时，设切线方程为x＋y＝a， 则

．

∴a＝－1或a＝3，即切线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0． ∴切线方程为或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．

考点:1．圆的切线的性质；2．点到直线的距离公式；3．直线的截距式方程．

8. 在平面直角坐标系中，若圆上存在，两点关于点成中心对称，则直线的方程为 . 【答案】x+y=3 【解析】由题意，圆的圆心坐标为C（0，1）， ∵圆上存在A，B两点关于点P（1，2）成中心对称， ∴CP⊥AB，P为AB的中点， ∵

，∴

，

∴直线AB的方程为y-2=-（x-1），即x+y-3=0． 【考点】直线与圆的位置关系．

9. 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点

两点.

（1）求圆的方程； （2）当时，求直线的方程. 【答案】（1）

；（2）

或

.

的动直线与圆相交于

【解析】（1）由直线与以为圆心的圆相切得到该圆的半径，然后根据圆心的坐标与半径即可写出圆的标准方程；（2）先由弦的长与圆的半径得到圆心到直线的距离

，进而设出直线的方程

（注意检验直线斜率不存在的情况），由点

到直线的距离公式即可算出的取值，从而可写出直线的方程. 试题解析：（1）由题意知

到直线

的距离为圆半径

圆的方程为（2）设线段中由勾股定理易知

的中点为，连结

，则由垂径定理可知

，且

，在

当动直线的斜率不存在时，直线的方程为时，显然满足题意； 当动直线的斜率存在时，设动直线的方程为： 由

到动直线的距离为1得

或为所求方程.

【考点】1.圆的标准方程；2.点到直线的距离公式；3.直线与圆的位置关系.

10. 一动圆截直线和直线所得弦长分别为，求动圆圆心的轨迹方程。 【答案】

【解析】设动圆圆心为M，由动圆截两直线所得的弦长，结合点到直线的距离公式，根据半径相等列关于动圆圆心坐标的关系式，整理后得答案． 试题解析：设动圆圆心点的坐标为，分别截直线 和所得弦分别为，则， ，过分别作直线和的垂线，垂足分别为，则，，

，

，

【考点】轨迹方程.

11. 若圆

倾斜角的取值范围是( ) A．

，

，所以动圆圆心的轨迹方程是

.

上至少有三个不同的点到直线的距离为,则直线的

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】先求出圆心和半径，比较半径和；要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于，用圆心到直线的距离公式，可求得结果． 【考点】直线和圆的位置关系.

12. 已知圆的方程为,直线的方程为,点在直线上,过点作圆的切线

,切点为. (1)若,试求点的坐标; (2)若点的坐标为,过作直线与圆交于两点,当时,求直线的方程; 【答案】(1)

或

(2)

或

【解析】(1)根据题意可知,因为则，因为，则可得，设出点的坐标根据点在直线上且，可求得点的坐标。(2)当直线直线的斜率不存在时，直线与圆无交点，舍。设出直线的点斜式方程，画图分析可知

，可求得圆心

试题解析：解： (1)设解之得:

,

或

. 6分 ,易知存在, 到直线,由题可知

的距离，即可求得直线,所以

,

的斜率。

故所求点的坐标为(2)设直线

的方程为:

由题知圆心解得,

或

到直线

,

的距离为,所以,

故所求直线的方程为:或. 13分 【考点】1直线和圆相交的弦长；2点到线的距离公式。

13. 设A,B为直线与圆的两个交点，则|AB|=（ ） A．1 B． C．

D．2

【答案】D

【解析】直线与圆的交点弦长可由两种方法得到:①求出圆心

,所以直径

.故选D.

【考点】直线与圆的交点弦长

14. 直线 与圆C：A．1 B．-1

到直线的距离

来求得

②直线与圆联立方程,由弦长公式

切于点

C．3 ，则a+b的值为（ ）

D．-3

【答案】C

【解析】化圆的一般式为标准式,过圆上一点切线方程

整理得,所以故选C

【考点】圆的切线

15. 圆与直线的交点的个数是_______ 【答案】2 【解析】直线过定点,把点代入圆的方程得,所以点在圆的内部,所以直线过圆内一点,所以直线与圆有2个交点. 【考点】直线过定点,直线与圆的位置关系

16. 若圆关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是( )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】已知圆关于直线

对称,那么有：

的圆心坐标为，圆的半径为，若圆

，设切线长为，那么

，当

时，最小，最小值为

，所

以切线长的最小值是.

【考点】直线与圆的位置关系.

17. 已知点和圆：．

（Ⅰ）过点的直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程；

（Ⅱ）试探究是否存在这样的点：是圆内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEM的面积？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（Ⅰ）方程为：或；（Ⅱ）. 【解析】（Ⅰ）当所求直线的斜率不存在时，弦长为，符合要求.此时直线方程为：；若斜率在时，可设直线的斜率为，根据点斜式写出直线方程，求出圆心到直线的距离

，再由勾股定理得到：

，解得

；（Ⅱ）连结

,求出，那么

圆与轴的两个交点

点必在经过点,且与直线

.并连结,得到，因此要使平行的直线上.结合点所在象限，可以求出为.

试题解析：（Ⅰ）当所求直线的斜率不存在时，弦长为，符合要求,此时； 若直线的斜率存在时，设直线的斜率为，那么直线的方程为：. 所以圆心到直线的距离所以

，又因为半径

，解得：

. ；

, 弦长为

.

所以所求直线方程为：或（Ⅱ）连结，点满足过，作直线的平行线． ∵

∴直线、的方程分别为：、设点∴分别解∵在

∴上 （

与为偶数，在

，对应的且

）

，得上

与对应的

∴满足条件的点存在，共有6个，它们的坐标分别为：．

【考点】直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，直线方程.

18. 已知圆，直线 ，与圆交与

.

（1）当时，求的值； （2）当

时，求的取值范围．

.

得

两点，点

【答案】（1）；（2）【解析】（1）由点在圆C上且满足

求的取值范围，就是要建立起点

是直径，即直线过圆心；（2）由

联系起来.我们可

与直线的关系，它们是通过点

以设出两点的坐标分别为即为，一方面由可得到与的关系，另一方面直线与圆C相交于点，把直线方程与圆方程联立方程组，可以得到与的关系，从而建立起与的关系，可求出的范围. 试题解析：（1）圆的方程可化为，故圆心为，半径 2分

当时，点在圆上，又，故直线过圆心从而所求直线的方程为 6分 （2）设由得 即 ∴ ① 8分 联立得方程组………….(*) 由判别式

得

且有

,从而

可得的取值范围是

，化简，整理得

，∴

4分

10分

，又

14分

代入 ①式整理得∴

【考点】(1)圆周角与弦的关系；（2）直线与圆相交问题.

19. 已知圆C的半径为2，圆心在轴正半轴上，直线（1）求圆C的方程; （2）过点的直线与圆C交于不同的两点求：的面积. 【答案】（1）

；（2）

.

与圆C相切 且为

时

【解析】（1）半径已知，所以只需确定圆心即可，设圆心，因为直线与圆相切，利用圆心到直线的距离列式求；（2）从可以看出，这是韦达定理的特征，故把直线方程设为，与（1）所求圆的方程联立，得关于的一元二次方程，用含有的代数式表示出，进而利用列方程，求，然后用弦长公式求，用点到直线的距离公式求高，面积可求. 试题解析：（I）设圆心为，则圆C的方程为 因为圆C与

相切 所以

解得：

（舍）

所以圆C的方程为： 4分 （II）依题意：设直线l的方程为： 由

得

又∵

∴

∵l与圆C相交于不同两点∴

整理得： 解得（舍） ∴直线l的方程为： 8分 圆心C到l的距离

在△ABC中，|AB|=

原点O到直线l的距离，即△AOB底边AB边上的高∴

12分

【考点】1、直线和圆的位置关系；2、圆的方程；3、弦长公式和点到直线的距离公式和韦达定理.

20. 已知以点C (t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O

为原点．

(1)求证：△AOB的面积为定值；

(2)设直线2x＋y－4＝0与圆C交于点M、N，若OM＝ON，求圆C的方程. 【答案】(1)见解析；(2)(x－2)2＋(y－1)2＝5.

【解析】(1)先求出圆的方程，然后求出与坐标轴的交点坐标，然后求S△AOB＝OA·OB＝|2t|·＝4为定值；(2)由OM＝ON，知O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，由C、H、O三点共线求出t＝2或t＝－2，从而得出圆方程.此题注意圆方程的取舍. 试题解析： (1)证明 由题设知，圆C的方程为(x－t)2＋

2

＝t2＋，

化简得x2－2tx＋y2－y＝0，当y＝0时，x＝0或2t，则A(2t,0)； 当x＝0时，y＝0或，则B

，∴S△AOB＝OA·OB＝|2t|·＝4为定值．

(2)解 ∵OM＝ON，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN， ∴C、H、O三点共线，则直线OC的斜率k＝＝

＝，∴t＝2或t＝－2.

∴圆心为C(2,1)或C(－2，－1).

∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5或(x＋2)2＋(y＋1)2＝5，

由于当圆方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝5时，直线2x＋y－4＝0到圆心的距离d>r，此时不满足直线与圆相交，故舍去.

∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.

【考点】1.圆的标准方程；2.直线与圆的位置关系.

21. 在平面直角坐标系中，已知圆 的圆心为，过点且斜率为的直线与圆相交于不同的两点． （Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）以OA,OB为邻边作平行四边形OADB,是否存在常数，使得直线OD与PQ平行？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．

【答案】（Ⅰ）先设出直线的方程，由直线与圆有两个不同的交战，故联立圆方程可得得一元二次方程，由判别式大于0可得K的取值范围为【解析】（Ⅰ）

；（Ⅱ）没有符合题意的常数,理由见解析.

，则

，然后由根与系数关系可

；（Ⅱ）由向量加减法，可利用向量处理，设，由

与

共线等价于

得，由（Ⅰ）知，故没有符合题意的常数.注意运用向量法和方程的思想.

，

． ①

，

试题解析：（Ⅰ）圆的方程可写成，所以圆心为过且斜率为的直线方程为． 代入圆方程得，整理得直线与圆交于两个不同的点等价于解得（Ⅱ）设由方程①，又而所以

，即的取值范围为

，则 ②

． ③

．

共线等价于

．

，

与，

将②③代入上式，解得由（Ⅰ）知

，故没有符合题意的常数．

【考点】1.直线与圆的位置关系；2.一元二次方程的根的判别式；3.向量共线的充要条件.

22. 直线与圆交于不同两点、，为坐标原点，则“”是“向量

满足

A．充分不必要条件 C．充要条件

”的（ ）

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

、

【答案】A

【解析】根据题意，由于直线利用圆心到直线的距离公式可知d=到

，当满足

与圆交于不同两点、，当a=1时，则可以

，可知当a=\"1\" 时，A（1，0），B（0，1），，可以得

，时a不一定等于1，如a=-1也可以，故必要

性不成立，故选A．

【考点】直线和圆的位置关系

点评：本题考查直线和圆的位置关系，充分条件、必要条件、充要条件的定义．

23. 已知圆过点，且与直线相切于点． （1）求圆的方程； （2）求圆关于直线对称的圆的方程． 【答案】（1）（2） 【解析】（1）设圆的方程为

，则

……4分 解得

……8分

． ……10分

关于直线

的对称点

，则

所以圆的方程为（2）设圆心

……12分 解得

……14分

所以圆的方程为． ……16分 【考点】本小题主要考查圆的方程的求解.

点评：求解圆的方程时，要适当选择到底是设圆的标准方程和一般方程，适当代入条件求解.

24. （本小题满分12分）

己知圆C: (x – 2 )2 + y 2 =\" 9,\" 直线l：x + y = 0. (1) 求与圆C相切, 且与直线l平行的直线m的方程;

(2) 若直线n与圆C有公共点，且与直线l垂直，求直线n在y轴上的截距b的取值范围; 【答案】(1) x + y – 2 +3=\"0,\" 或x + y – 2 –3=\"0.\" (2) – 2–3£ b £ – 2+3 【解析】(1) ∵直线m∥直线x + y = 0,

∴设m: x + y + c = 0,∵直线m与圆C相切，∴ 3 =

,

解得 c =\" –\" 2 ±3

得直线m的方程为：x + y – 2 +3=\"0,\" 或x + y – 2 –3=\"0.\" (2) 由条件设直线n的方程为：y = x +b ,

代入圆C方程整理得：2x2 +2 (b – 2)x + b2 – 5 = 0, ∵直线l与圆C有公共点，

∴ △ =\" 4(b\" – 2)2 – 8(b2 – 5 ) =\" –\" 4b2 – 16b +56 ≥ 0,即：b2 + 4b –14 £ 0 解得：– 2–3£ b £ – 2+3

【考点】本试题考查了两直线的位置关系。

点评：运用两直线的平行的关系来设出所求的直线方程，并代点来求解方程。同时要理解截距的概念，表示的为数字，不是距离，是一个可正可负的数字。结合直线与圆的位置关系得到取值范围，属于中档题。

25. 圆x2+y2=20的弦AB的中点为P(2,-3)，则弦AB所在直线的方程是 【答案】2x-3y-13=0 【解析】设弦的端点为A（），B（），代入圆的方程，两式相减并整理得

，由直线方程的点斜式得弦AB所在直线的方程是2x-3y-13=0。

【考点】本题主要考查直线与圆的位置关系，直线的倾斜角、斜率，简单不等式的解法。

点评：简单题，研究直线与圆的位置关系，涉及弦中点问题，可尝试利用“点差法”求弦的斜率。

26. （本题12分）直线且单位长度相同）。

（1）求圆心C到直线的距离； （2）若直线被圆C截的弦长为【答案】（1）【解析】（1）把把

；（2）

。

……………………2分

……………………4分

的值。

（极轴与x轴的非负半轴重合，

化为普通方程为

化为直角坐标系中的方程为

…………………… 6分

……………………9分

圆心到直线的距离为（2）由已知

， ……………………12分

【考点】本题主要考查参数方程，简单曲线的极坐标方程，直线与圆的位置关系。

点评：容易题，涉及参数方程、极坐标的题目，往往难度不太大，涉及圆的弦长问题，需关注弦长之半、半径、圆心到直线的距离构成的“特征三角形”。

27. 直线按向量平移后与圆相切，则的值等于（ ） A．8或 B．6或 C．4或 D．2或

【答案】A

【解析】直线2x-y+c=0按向量平移后所得直线的方程为：2（x-1）-（y+1）+c=0，即2x-y+c-3=0，若2x-y+c-3=0与圆x2+y2=5相切，则圆心（0，0）到直线2x-y+c-3=0的距离等于圆半径，即

，解得C=-2，或C=8故答案为：-2或8。

【考点】本题考查向量在几何中的应用、曲线的平移变换法则，直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式。

点评：根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，进而构造关于x的方程是解答本题的关键．

28. 圆A．

的圆心到直线

B．

的距离是 （ ）

C．

D．

【答案】A 【解析】圆公式有：

的圆心为

，直线

可以化成

，应用点到直线的距离

【考点】本小题主要考查点到直线的距离公式的应用.

点评：应用点到直线的距离公式时，要把直线方程化成一般式再代入公式求解.

29. 直线绕原点按顺时针方向旋转所得直线与圆的位置关系是（ ）. A．直线与圆相切 B．直线与圆相交但不过圆心 C．直线与圆相离 D．直线过圆心

【答案】A 【解析】直线斜角为

，斜率为

的斜率为

，倾斜角为

，绕原点按顺时针方向旋转，圆

所得直线倾

，所以直线方程为的圆心到直线的距离

，正好等于圆半径，所以直线与圆相切.

【考点】本小题主要考查直线的倾斜角和斜率与直线和圆的位置关系的判断，考查学生分析问题解决问题的能力和运算求解能力.

点评：考查直线与圆的位置关系有代数法和几何法两种方法，用几何法比较简单，一般考虑用几何法，即考查圆心到直线的距离与半径的关系.

30. 方程所表示的曲线的图形是（ ）

【答案】D 【解析】由于

，

即x=1（y≠0），或 x2+y2=2（x≥1），

表示一条直线x=1（去掉点（1，0））以及圆 x2+y2=2位于直线x=1右侧的部分， 故选D．

【考点】本试题主要考查了函数的图象，方程的曲线，属于基础题

点评：解决该试题的关键是根据表达式运用函数与方程的思想分解为两个值，即为方程x=1（y≠0），或 x2+y2=2（x≥1），由此得到方程表示的曲线．

31. 设直线过点其斜率为1，且与圆相切，则的值为 【答案】

【解析】本试题主要是考查了直线与圆相切的位置关系的运用。

设直线过点（0，a），其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，设直线方程为y=x+a，根据直线与圆

相切可知，圆心（0，0）到直线的距离等于半径，，∴a的值为±2，故填写为。

解决该试题的关键是直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径得到结论。

32. （本题满分16分） 已知圆：，设点是直线：上的两点，它们的横坐标分别 是,点的纵坐标为且点在线段上，过点作圆的切线,切点为 （1）若，，求直线的方程； （2）经过三点的圆的圆心是， ①将表示成的函数，并写出定义域．

②求线段长的最小值

【答案】（1）直线PA的方程是或（2）.

【解析】本试题主要是考查直线与圆的位置关系的综合运用。 （1） 解得

或

（舍去）.

或

的坐标是

(

)

或

由题意知切线PA的斜率存在，设斜率为k. 所以直线PA的方程为，即直线PA与圆M相切，

，解得

进而得到直线PA的方程是或 （2）与圆M相切于点A，经过

三点的圆的圆心D是线段MP的中点.

对于参数t讨论得到最值。 （1）解得

或

（舍去）.

由题意知切线PA的斜率存在，设斜率为k. 所以直线PA的方程为，即直线PA与圆M相切，

，解得

直线PA的方程是或 （2）① 与圆M相切于点A， 经过三点的圆的圆心D是线段MP的中点.

的坐标是(②当当当

) ，即

，即，即

时时，

时，

则.

33. 当为任意实数时，直线恒过定点，则以为圆心，为半径的圆的方程是_____________． 【答案】

【解析】因为直线（a-1）x-y+a+1=0，即 a（x+1）+（-x-y+1）=0，定点C的坐标是方程组 X+1=0,-x-y+1=0的解∴定点C的坐标是（-1，2），再由为半径可得圆的方程是 （x+1）2+（y-2）2=5，故答案为 x2+y2+2x-4y=0

34. 设直线过点，且与圆相切，则的斜率是（ ） A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+2),因为直线l与圆相切，所以之得

.

,解

35. 已知一个圆C和轴相切,圆心在直线上,且在直线上截得的弦长为,求圆C的方程. 【答案】 【解析】因为圆心在直线上,可设圆心坐标为,然后再根据圆C和轴相切可得

,直线上截得的弦长为利用弦长公式可得r与t的另一个关系式，两式联立可求出r,t的值，从而得到圆C的方程. 解：∵圆心在直线上,∴设圆心C的坐标为 ∵圆C与轴相切, ∴圆的半径为 设圆心到的距离为,则

又∵圆C被直线上截得的弦长为, ∴由圆的几何性质得:,解得 ∴圆心为或, ∴圆C的方程为:

36. 已知直线，圆（1）判断直线和圆的位置关系；

（2）若直线和圆相交，求相交弦长最小时的值. 【答案】（1）直线和圆相交；（2）

。

【解析】本试题主要是考查了直线与圆的位置关系综合运用。

（1）因为利用圆心到直线的距离与圆的半径的关系，来确定结论。 （2）假设直线和圆相交于点

，由相交弦长公式

，其中为圆心到直线

的距离，根据d的最大时的情况得到结论。 解：（1）直线， 即为， 则直线经过直线与的交点 而，所以点在圆的内部，所以直线和圆相交； （2）假设直线和圆相交于点

，由相交弦长公式

，其中为圆心到直线

的距离，有公式可知，

当最大时，相交弦长最小，而由（1）知， 直线过定点

,所以

，即

，又

，所以，

37. 若P（2，－1）为圆(x－1)2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是 （ ） A．x－y－3=0 B．2x+y－3=0 C．x+y－1=0 D．2x－y－5=0

【答案】A

【解析】因为圆心C（1，0），且CP垂直AB，因而AB的斜率为所以直线AB的方程为y+1=x-2,即x-y-3=0.

38. 已知点P在直线上移动，当

的切线，则此切线长等于 【答案】【解析】所以此时

39. 已知直线:【答案】相切

【解析】因为圆心（0，0）到直线l的距离

,所以直线l与圆C相切.

和圆C:

，则直线与圆C的位置关系为 ．

,由切线长公式可知切线长

,当且令当

时，取得最小值. .

,

取最小值时，过点P引圆C：

40. 已知两圆相交于A（1，3）．B（）两点，且两圆圆心都在直线上，则= . 【答案】

【解析】因为解：根据题意，由相交弦的性质，相交两圆的连心线垂直平分相交弦， 可得AB与直线垂直，且AB的中点在这条直线上； 由AB与直线垂直，可得故=

41. 若直线

与曲线

（

）有两个不同的公共点，则实数 的取值范围

为____________； 【答案】

【解析】

化为普通方程，表示圆，

解得

因为直线与圆有两个不同的交点，所以

法2：利用数形结合进行分析得 同理分析，可知

42. 已知点P在圆x2＋y2＝1上运动，过点P作x轴的垂线，垂足为D，点M在DP的延长线上，且有|DP|＝|MP|.(1)求M点的轨迹方程C；(2)已知直线l过点(0，)，且斜率为1，求l与C相交所得的弦长． 【答案】(1) x2 ＋

＝1 (2)

【解析】此题考查了直线与圆相交的性质，以及动点的轨迹方程，涉及的知识有：直线与圆的交点，一元二次方程根与系数的关系，两点间的距离公式，点到直线的距离公式，基本不等式的运用，以及直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径的性质，利用了转化及分类讨论的思想，是一道综合性较强的试题．

（1）设出M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），由题意DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且|DP|＝|MP|，找出x0与x的关系及y0与y的关系，记作①，根据P在圆上，将P的坐标代入圆的方程，记作②，将①代入②，即可得到点M的轨迹方程； （2）直线与圆联立求解方程组，结合根与系数的关系得到弦长公式。 解：(1)设P(x0,y0)，M(x,y)，由题意知

， ……3分

＝1． ……6分

又点P在圆x2＋y2＝1，可得M点的轨迹方程为x2 ＋(2)由(1)知

联立上式得4x2＋(x＋)2＝4,5x2＋2x－1＝0,可知必有D>0…8分

, x1x2 ＝－．…10分

设l与C的交点为A(x1，y1), B(x2，y2)，则有x1＋x2 ＝－\\|AB|＝＝

|x1－x2|＝

＝

＝． ……12分

43. (10分)已知圆：，和定点， 求：(1) 过点作圆的切线，求直线方程； (2) 过点作直线与圆相交于、两点，且时，求直线的方程. 【答案】(1) x=-2和3x-4y+6=\"0\" (2) y=7x+14和y=\"x+2\" 。

【解析】本试题主要是考查了线圆相切的问题，求解直线的方程的运用。以及直线与圆相交的弦长公式的运用。

（1）因为将圆C的方程配方得标准方程为，

则此圆的圆心为(0 , 4)，半径为2.根据圆心到直线的距离可知斜率的值。注意对k的讨论是否存在的运用。

（2）若直线的斜率不存在不合题意;设直线的方程为y=k(x+2)，

过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，关于k的关系式得到求解。 解：将圆C的方程配方得标准方程为， 则此圆的圆心为(0 , 4)，半径为2.

(1)若直线的斜率不存在时，容易验证直线x=-2，为切线;

若直线的斜率存在时，设直线的方程为y=k(x+2)， 与圆C相切，则有解得

，直线的方程为y=(x+2)，即3x-4y+6=\"0\"

.

综上所求直线方程为x=-2和3x-4y+6=\"0\"

(2)若直线的斜率不存在不合题意;设直线的方程为y=k(x+2)，

过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，得

解得

，从而得所求直线方程为y=7x+14和y=\"x+2\"

、

的极坐标方程分别为

，

，则曲线

上的点

44. .已知曲线

与曲线上的点的最远距离为 【答案】

【解析】解：曲线C1的极坐标方程分别为ρ=-2cos(θ+ ) 即ρ=2sinθ，两边同乘以ρ，得ρ2=2ρsinθ， 化为普通方程为x2+y2=2y，即x2+（y-1）2=1． 表示以C（0，1）为圆心，半径为1 的圆． C2的极坐标方程分别为 2 ρcos(θ-)+1=0， 即ρsinθ+ρcosθ+1=0，

化为普通方程为x+y+1=0，表示一条直线． 如图，圆心到直线距离d=|CQ||PQ|=\"d+r=\" 故答案为：

45. 、曲线A．相交过圆心

+1 +1，

=

曲线C1上的点与曲线C2上的点的最远距离为

与曲线B．相交

的位置关系是（ ）。

C．相切

D．相离

【答案】D 【解析】解：因为

表示圆，而曲线

表示的为直线，利用圆心到直线的距离和圆的半径的关系可知，位置关系为相离。

46. （10分）在气象台A正西方向300千米处有一台风中心，它以每小时40千米的速度向东北方向移动，距台风中心250千米以内的地方都要受其影响。问：从现在起，大约多长时间后，气象台A所在地将遭受台风影响？持续多长时间？（注：，）

【答案】大约2小时后，气象台A所在地将遭受台风影响，大约持续6个半小时。

【解析】本试题主要是考查了直角坐标方程的灵活运用和解决实际问题中的长度和不等式的综合运用。

以气象台为坐标原点，正东方向为x轴正方向，建立直角坐标系，则现在台风中心B1的坐标为（-300，0）。根据题意，可知，t小时后，B的坐标为（，），即（，），因为以台风中心为圆心，以250千米为半径的圆上或圆内的点将遭受台风影响，所以B在圆上或圆内时，气象台将受台风影响。分析可知结论。

解：如图，以气象台为坐标原点，正东方向为x轴正方向，建立直角坐标系，则现在台风中心B1的坐标为（-300，0）。根据题意，可知，t小时后，B的坐标为（，），

即（，），因为以台风中心为圆心，以250千米为半径的圆上或圆内的点将遭

受台风影响，所以B在圆上或圆内时，气象台将受台风影响。

所以令整理得

，即

解得

，

故大约2小时后，气象台A所在地将遭受台风影响，大约持续6个半小时。

47. （本小题满分12分）已知点是圆上的动点， （1）求的取值范围； （2）若恒成立，求实数的取值范围。 【答案】解：（1） （2）

【解析】本试题主要是考查了圆的参数方程的运用。 （1）将圆的的普通方程，写为参数方程，利用参数方程的坐标来表示所求，借助于三角函数的性质得到范围。 （2）同上将，然后化为单一三角函数，借助于三角函数的性质得到参数a的范围。

解：（1）设圆的参数方程为

………………………4分………………………6分 （2）

，………………………2分

………………………8分

…………10分

48. （本小题满分10分）已知直线直线和轴均相切. （1）求该圆的方程； （2）直线【答案】（1）

与圆交于；（2）

，一个圆的圆心在轴正半轴上，且该圆与

两点，且，求的值.

【解析】（1）利用待定系数法结合条件列式，求出圆心和半径；（2）利用弦长的一半与弦心距及半径成勾股列出关于参数m的等式，求解即可。 解：（1）设圆心

.

垂足为

，则

为

中点

，

，

，半径为，则

所求圆的方程为（2）作

，即点到直线的距离为.

，

.

49. 过原点的直线与圆相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________； 【答案】

【解析】解：圆心坐标为（1,2），半径为1，所以圆心在直线上，则所求的方程为

50. 圆上的点到直线的距离的最大值是（ ） A．

B．

C．

D．

【答案】B 【解析】圆离

51. 若圆是 ． 【答案】

，圆

与圆

的圆心为（1,1），半径为1，圆心为（1,1）到直线

上的点到直线

的距离的最大值是

.

的距

相交，则m的取值范围

【解析】，即，即 两圆相交，则两圆圆心距离满足：所以有，即解得，

或

52. 已知圆及直线，当直线被圆截得的弦长为等于____________________________________。 【答案】 【解析】圆心

到直线

，故

的距离

，解得

，则直线被圆截得弦长为

时，则

53. 已知圆和直线， （1）求证：不论取什么值，直线和圆总相交；

（2）求取何值时，直线被圆截得的弦最短，并求出最短弦的长； 【答案】（1）点（4，3）在圆内；（2），最短弦 【解析】略

. (本题满分8分) 已知经过点的圆与圆相交，它们的公共弦平行于直线

．

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）若动圆经过一定点，且与圆外切，求动圆圆心的轨迹方程． 【答案】解：（Ⅰ）设圆的方程为， 则两圆的公共弦方程为，

由题意得

∴圆的方程为,即 ．………………4分 （Ⅱ）圆的圆心为，半径． ∵动圆经过一定点，且与圆外切． ∴． ∴动圆圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的右支．………7分 设双曲线的方程为， 故动圆圆心

的轨迹方程是

．………………8分 ，

【解析】略

55. 直线l过点（方程为 （ * ） A．B．C．D．

【答案】D 【解析】因为

4，0）且与圆 或

，所以圆心

交于A、B两点，如果|AB|=8，那么直线l的

到直线的距离

，此时圆心

。因为直线经过点到直线的距离为3，符合；，解得

或

。所以直线方

，故选

，当直线斜率不存在时，直线的方程为当直线斜率存在时，设直线方程为程为

，即

，则有

。综上可得，直线的方程为

D

56. 过点(2,-1)作圆A．x-2y-4=0

的切线，其方程是（ ） B．2x-y-5=0

C．2x+y-3=0

D．2x-y-5=0或x-2y+4=0

【答案】B

【解析】若切线斜率不存在，此时直线方程为线斜率存在，设过点为

57. .圆C：A．1个

，即

切线方程为

，故选B

上到直线x＋y＋1=0的距离为B．2个 C．3个

的点有（ ）

D．4个

，到圆心即原点的距离为2，不符合，所以切，则有

，解得

，所以切线方程

【答案】C 【解析】

到直线

点有3个，故选C

，则的距离为

，圆心，半径为。所以圆心的距离为

的

，则画图可知，圆上到直线

58. 已知动圆圆心在抛物线y2＝4x上，且动圆恒与直线x＝－1相切，则此动圆必过定点___ 【答案】（1，0） 【解析】略

59. 已知直线：与曲线C：的公共点不多于一个，则实数的取值范围为 （ ） A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】

60. 直线被圆A．-1或-3

所截得的弦长等于B．

，则的值为 C．1或3

D．

【答案】C

【解析】依题意可得圆心故选C

61. 圆

【答案】2

到直线

的距离

，即

，解得

或

，

关于直线对称的圆的方程是

其圆心的坐标为为：故圆的圆心的坐标为：

，则实数的值是

又由其关于直线关于直线

【解析】圆的方程为：

对称的圆的方程为：对称，

垂直于该直线，又该直线的斜率为：1，

的斜率为：

解得：

62. 直线与圆相交于A、B两点，则 . 【答案】2 【解析】略

63. 已知方程，则的最大值是 ； 【答案】 【解析】略

. 已知圆C与y轴相切，圆心在直线x-3y=0上，且在直线y=x上截得的弦长2方程.

.求 圆C的

【答案】

【解析】略

65. 如图，直角三角形

的顶点坐标，直角顶点，顶点在轴上，点为线

段的中点

（1）求边所在直线方程；（2）圆是△ABC的外接圆，求圆（3）若DE是圆的任一条直径，试探究是否是定值？ 若是，求出定值；若不是，请说明理由． 【答案】【解析】略

66. 若直线A．C．

与曲线

；

；是定值，为

-

的方程；

有两个不同的公共点，则实数的取值范围为

B．D．

【答案】D

【解析】本题考查参数方程,直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式. 由方程

得

平方相加得

的距离为

有两个不同的公共点，所以故选D

且与圆相切的直线 （ ） B．有且仅有一条 C．不存在 D．不能确定

表示以（2,0）为圆心，1为半径的圆；因为到直

，即

圆心（2,0）到直线线

与圆

，解得

67. （文科）过点A．有两条

【答案】A 【解析】略

68. （本小题12分）

已知椭圆C的左右焦点坐标分别是（－1，0），（1，0），离心率，直线不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P。 （1）求椭圆C的方程；

（2）若圆P恰过坐标原点，求圆P的方程； 【答案】、解：（1）依题意由

得

，

，所以

……………………………………………1分

与椭圆C交于

………………………………………………………………………2分

………………………………………………………………………4分

交椭圆于M、N两点，将

代入方程：

故椭圆方程为（2）直线得

依题意：半径得

……………………………………………………………6分 ………………………………………………………………8分

………………………………………………………………………………………10分 圆P方程：

…………………………………………………………12分

【解析】略

69. 若圆的弦AB的中点为P （2，—1），则直线AB的方程是____________________ 【答案】 【解析】略

70. 已知定点P(1,0)，动点Q在圆C:上，PQ的垂直平分线交CQ于点M，则动点M的轨迹方程是 ． 【答案】

【解析】略

71. （本小题10分） 设圆上一点关于直线的对称点仍在圆上，且与直线相交的弦长为 ，求圆的方程. 【答案】或 【解析】解：设圆的方程为： 圆上一点A关于直线的对称点仍在圆上 由圆的对称性可知：圆心在直线上，则 …………（2分） 又直线与圆相交所得的弦长为 由圆的几何性质可得：圆心到该直线的距离为 …………………………………（2分） 即：

该圆的方程为

而点A在圆上，代入圆方程可得：圆的方程为：或

……（3分）

……………（1分） …………（2分）

72. 已知直线经过点

，倾斜角

，

（1）写出直线的参数方程； （2）设与圆相交于A、B两点，求点P到A、B两点的距离之积. 【答案】（1）直线的参数方程为

（2）把直线的参数方程

，所以

【解析】略

73. （本小题满分12分） 已知曲线的极坐标方程是

代入得，化简得

，所以点P到A、B两点的距离之积为2.

，直线的参数方程是

（1）求曲线和直线的直角坐标方程；

（2）设点为曲线上任一点，求到直线的距离的最大值. 【答案】（1）【解析】解：（1）（2）设当

，即

，则

到直线的距离

时，

。

（2）

，

74. （本小题满分10分）已知圆方程为：. （1）直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程； （2）过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量动点的轨迹方程。

【答案】（1），所求直线为或 （2）点的轨迹方程是

，

，求

【解析】（本小题10分）解：（1）①当直线垂直于轴时，则此时直线方程为两个交点坐标为和，其距离为 满足题意 ………1分 ②若直线不垂直于轴，设其方程为，即 设圆心到此直线的距离为，则，得 …………3分 ∴

，

，

，与圆的

故所求直线方程为 ……………………4分 综上所述，所求直线为或 ………5分 （2）设点的坐标为（），点坐标为 则点坐标是 ………………6分 ∵又∵∴

，∴，∴

点的轨迹方程是

即

，

……7分

………………8分 ， ………… 10分

75. （13分）如图所示，圆的直径作的垂线

，

，为圆周上一点，

，求

．过作圆的切线，过

的长。

分别与直线、圆交于点和线段

【答案】

【解析】略

76. 直线：3x-4y-9=0与圆：A．相切

C．直线过圆心

，(θ为参数)的位置关系是（ ）

B．相离

D．相交但直线不过圆心

【答案】D 【解析】略

77. 圆心在曲线A．C．

上，且与直线

相切的面积最小的圆的方程为（ ） B．D．

【答案】A 【解析】略

78. 曲线C上任一点到点，的距离的和为12，C与x轴的负半轴、正半轴依次交于A、B两点，点P在C上，且位于x轴上方，． （Ⅰ）求曲线C的方程； （Ⅱ）求点P的坐标；

（Ⅲ）以曲线C的中心为圆心，AB为直径作圆O，过点P的直线l截圆O的弦MN长为，求直线l的方程． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

或

（Ⅲ）所求的直线l的方程为

【解析】（Ⅰ）设G是曲线C上任一点，依题意，

∴曲线C是以E、F为焦点的椭圆，且椭圆的长半轴a=6，半焦距c=4， ∴短半轴b=，

∴所求的椭圆方程为（Ⅱ）由已知由已知得则由于

，解之得，所以只能取

,

；

，设点P的坐标为

，

，于是；

，

，

，

，则

所以点P的坐标为

（Ⅲ）圆O的圆心为（0，0），半径为6，其方程为若过P的直线l与x轴垂直，则直线l的方程为∴

，这时，圆心到l的距离

，符合题意；

，

若过P的直线l不与x轴垂直，设其斜率为k，则直线l的方程为即∴化简得，∴直线l的方程为

综上，所求的直线l的方程为

79. 直线A．30

或

，∴

，

所得的劣弧所对圆心角为（ ）

C．60

，这时，圆心到l的距离

， ，

截圆

B．45

D．90

【答案】C 【解析】圆心

到直线

的距离为

，又圆半径为2，所以直线

截圆所得的弦长为，可知两半径与弦围成等边三角形，所以

所得的劣弧所对圆心角为60°.

80. 把直线绕点（1，1）顺时针旋转，使它与圆相切，则直线转动的最小正角是 。 【答案】 【解析】角是。

81. 圆【答案】

，则有

，则

，又

关于直线

对称，则

的取值范围是 ．

与圆

相切，所以

与

的夹角为所求，即直线转动的最小正

【解析】由题意知直线经过该圆的圆心

，则

的取值范围是

。

【考点】（1）直线与圆的位置关系，（2）二次函数最值问题。

82. 已知直线：与圆C：（1）若直线与圆相切，求m的值。 （2）若，求圆C截直线所得的弦长。 【答案】（1）

；（2）

。

，

【解析】（1）直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，利用点线距离公式建立关于m的方程。

（2）因为圆心到直线的距离、半径、弦长的一半构成直角三角形，又圆心到直线的距离

， 故弦长

。

到直线的距离为

，

试题解析：（1）因为直线与圆相切，所以圆心解得（2）当弦长

。

时，直线的方程为

，圆心

到直线的距离，

【考点】直线与圆的位置关系。

83. 过A（11，2）作圆A．16条 B．17条

的弦，其中弦长为整数的弦共有（ ）

C．32条 D．34条

【答案】C

【解析】圆的方程可化为，圆心为，过A（11，2）的最短的弦长10，最短的弦长为26，各一条，还有长度为11,12,13，的各2条，所以共有整数的弦长条数 【考点】求弦长问题

84. （12分）从圆C：外一点，向圆C引切线，切点为M、N. （1）求切线方程.

（2）求过二切点的直线方程. 【答案】（1）或（2）.

【解析】（1）由圆外一点引圆的切线，一般利用圆心到直线的距离等于半径来求，特别注意切线有两条，在解题过程中，若只求出一个值，说明另一条切线的斜不存在，不要漏掉这一解；（2） 求过二切点的直线方程，可先求切点，比较麻烦；可将问题转化成两相交圆的公共弦的方程.

试题解析：（1）设切线方程为或

或

，故四边形PMCN外接圆方程为

即

故所求切线方程为：（2）C、P中点坐标

即

故过二切点M、N的直线方程为. 【考点】求切线方程及过切点的直线方程.

85. （本小题满分12分）如图, 已知圆:

, 直线的方程为, 点是直线

上一动点, 过点作圆的切线、, 切点为、．

（1）当的横坐标为

时, 求∠

的大小;

必过定点, 并求出所有定点的坐标．

. ，

，∠MAP=90°，根据MP=2r，可得

（2）求证: 经过A、P、M三点的圆【答案】（1）∠APB＝60°；（2）

【解析】（1）由题设可知，圆M的半径

∠MPA=30°，从而可求∠APB的大小；

（2）设P的坐标，求出经过A、P、M三点的圆的方程即可得到圆过定点. 试题解析：解: （1）由题可知, 圆M的半径r＝2, ∠MAP＝90°又因MP＝

, 因为PA是圆M的一条切线, 所以

＝2r, 又∠MPA＝30°, ∠APB＝60°; （6分）

以MP为直径, 方程

（2）设P（2b, b）, 因为∠MAP＝90°, 所以经过A、P、M三点的圆为:

即

由, 解得或, 所以圆过定点

【考点】直线与圆的综合问题，圆过定点，

86. 由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为

A．1 D．3 B．C．

【答案】C

【解析】设圆心为C（3,0），P为直线上一动点，过P向圆引切线，切点

设为N，所以，又，所以

【考点】直线与圆的位置关系、切线及其最值.

87. 若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是（ ） A．[C．[

，] ，]

B．[

D．[

，3] ，

]

【答案】A

【解析】由题可知，

得，它表示圆心在（2，3），半径

为 2 的圆的下半部分，y=\"x+b\" 表示斜率为 1 的平行线，其中 b 是直线在 y 轴上的截距，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，由点到直线的距离公式可知，

，解得

，由图知 b 的取值范围是。

【考点】•点到直线的距离公式󰀀数形结合的解题方法

88. 已知过点作直线与圆：交于两点，且为线段的中点,则的取值范围为 . 【答案】

【解析】∵A是PB的中点，圆的直径是2，∴,∴点P到原点距离小于等于3， ∴，∴. 【考点】直线和圆的位置关系.

. 直线x＋2y＋1＝0被圆（x－2）2＋（y－1）2＝25所截得的弦长等于（ ） A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【解析】圆心到直线的距离为

，故弦长等于

【考点】弦长公式

90. （本题满分14分）已知圆的圆心在轴的正半轴上，半径为，圆被直线截得的弦长为． （1）求圆的方程； （2）设直线与圆相交于两点，求实数的取值范围； （3）在（2）的条件下，是否存在实数，使得关于过点的直线对称？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）

；（2）

；（3）

【解析】（1）根据条件设出圆心坐标，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后根据勾股定理列出方程即可求出圆的方程；

联立圆的方程和直线方程消去一个变量，得到一元二次方程，根据即可得出实数的取值范围； （3）首先假设存在，然后根据条件列出满足条件的关系式试题解析：（1）设⊙的方程为解由题意设故

.故⊙的方程为

2分

. 4分

进而可求出实数的值．

（2）由题设故

,所以

6分 或

.

8分

故,实数的取值范围为

（3）存在实数,使得 ,又即

，存在实数

或

关于对称.

12分

,满足题设 14分

【考点】直线与圆的综合问题.

91. 过点P（3，1）向圆作一条切线，切点为A，则切线段PA的长为 . 【答案】

【解析】由条件求得圆的标准方程，可得圆心坐标和半径，再利用切线长定理求得切线长PA的值．

解：圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，即 （x﹣1）2+（y﹣1）2=1，表示以C（1，1）为圆心、半径等于1的圆，

再由切线长定理可得切线长PA=， 故答案为：．

【考点】直线和圆相切的性质；切线长定理.

92. （本小题12分）如图7，已知圆，设A为圆C与x轴负半轴的交点，

过点A作圆C的弦AM，并使弦AM的中点恰好落在y轴上.

（1）当在内变化时，求点M的轨迹E的方程；

（2）已知定点P（-1，1）和Q（1，0），设直线PM、QM与轨迹E的另一个交点分别是M1、M2 . 求证：当M点在轨迹E上变动时，只要M1、M2都存在且M1M2，则直线M1M2恒过一个定点，并求出这个定点。 【答案】（1）；（2） . 【解析】（1）设M（x，y），则AM的中点M的轨迹E的方程． （2）设

的坐标分别为

； 由Q，M，M2共线得

t1+t2=

，求出直线M1M2的方程，即可得出结论．

． ，其中

且

．由，可得t1t2=﹣

共线得，

．利用CD⊥DM，建立方程，由此能求出点

试题解析：（1）设M（x，y），则AM的中点因为C（1，0），

，

．

．

在⊙C中，因为CD⊥DM，所以所以，点M的轨迹E的方程为：（2）设M，M1，M2的坐标分别为

，其中且．

由P，M，M1共线得由Q，M，M2共线得∴t1t2=﹣

，t1+t2=

； ．

∴直线M1M2的方程为∴

，

，即t2（y﹣4x）+2t（x+1）+（y+4）=0，

∴x=﹣1，y=﹣4，

∴直线M1M2恒过一个定点． 【考点】圆锥曲线的轨迹问题..

93. （本小题满分14分）在平面直角坐标系

上.

中，已知圆过坐标原点O且圆心在曲线

（Ⅰ）若圆M分别与轴、轴交于点、（不同于原点O），求证：（Ⅱ）设直线

与圆M 交于不同的两点C，D，且

的面积为定值； ，求圆M的方程；

（Ⅲ）设直线与（Ⅱ）中所求圆M交于点、， 为直线与圆M的另一个交点分别为，，求证：直线过定点. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）或【解析】（Ⅰ）由题意可设圆M的方程为

上的动点，直线.

，

，求出圆M分别与x轴、y轴

交于点A、B的坐标，利用面积公式，可得：△AOB的面积为定值；

（Ⅱ）由|OC|=|OD|，知OM⊥l，解得t=±1，再验证，即可求圆M的方程； （Ⅲ）设，整理得．①设直线GH的方程为

，代入，利用韦达定理，确定直线方程，即可得出结论． 试题解析：（Ⅰ）由题意可设圆M的方程为即令

，得

. ；令，知，解得

时，圆心M时，圆心M

，得. .

的距离

的距离.

，又知，

，

，

小于半径，符合题意；

大于半径，不符合题意.

.

，

（定值）.

（Ⅱ）由所以当当

到直线

到直线

所以，所求圆M的方程为（Ⅲ）设，，所以. 因为将整理得

，所以

，

. ①

.

代入上式，

设直线整理得所以

的方程为，代入

.

，

.

，

代入①式，并整理得， 即， 解得或. 当时，直线的方程为，过定点； 当时，直线的方程为，过定点 【考点】圆的方程；直线与圆的位置关系；分析思考能力和计算能力.

94. 如果直线 与圆：交于两点，且，为坐标原点， 则 【答案】

【解析】由题意可知△AOB是边长为1的正三角形， ∴

故答案为：

【考点】向量的数量积运算．

95. （本小题满分14分）已知圆两点，点的坐标为，且满足（1）当时，求的值； （2）当

时，求的取值范围．

．

．

，直线

．

，直线与圆交于

【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）当b=1时，点M（0，b）在圆C上，当且仅当直线l经过圆心C时，满足MP⊥MQ．把圆心坐标（1，1）代入直线，可得k的值．

（Ⅱ）把直线的方程代入圆的方程转化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系以及

，求得

在区间

上单调递增，求得

．令

，则，可得

，解此不等式求得k的取值范

围（注意检验△＞0）． 试题解析：（Ⅰ）圆，当b=1时，点M（0，b）在圆C上， 当且仅当直线l经过圆心C时，满足MP⊥MQ． ∵圆心C的坐标为（1，1），∴k=1． （Ⅱ）由 设∴

，

． ，即，即

，即

，则

在区间

上单调递增．

，

．

．

． ．

，消去y得：

①

∵MP⊥MQ，∴∴∵， ∴∴令

∴当∴即∴

由①式得∴

时，

．

，解得

或或

．

，

．

，解得k＞0． ．

．

∴k的取值范围是

【考点】直线和圆相交的性质；一元二次方程根与系数的关系；函数的单调性．

96. （12分）已知圆C：内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点.

（1）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程； （2）当直线l的倾斜角为45º时，求弦AB的长. 【答案】（1），（2）， 【解析】第一步利用垂径定理可知，当弦

被点平分时，弦

，

，则

，

利用点斜式写出直线l的方程；第二步当直线的倾斜角为45º时，，直线的方程为

，即，求圆的弦长只需求圆心到直线的距离（弦心距），后用勾股定理求之即可. 试题解析：（1）当弦

, 即

被点平分时，

.

,即

，圆心到.

,

，则

， 直线l的方程为

（2）当直线的倾斜角为45º时，斜率为1，直线l的方程为直线的距离为

，圆的半径为3，弦AB的长为

【考点】1.圆的几何性质；2.直线方程；3.圆的弦长的求法，4.点到直线距离公式；

97. 点是直线上的动点，与圆分别相切于两点，则四边形

面积的最小值为

B．2 D．4 C．A．

【答案】C

【解析】设，由题意，，

，当

，所以

垂直于直线．

时，最小，所以

【考点】直线与圆的位置关系、点到直线的距离、最值等．

98. 已知圆的弦PQ的中点为M（1，2），则弦PQ的长为 【答案】4

【解析】因为圆，所以圆心为（2,0），半径为3，弦PQ的中点为M（1，2），所以圆心与中点的连线垂直于弦，所以圆心到直线的距离为，所以弦长为

【考点】本题考查圆的弦长

点评：圆中的弦长用勾股定理，半径，圆心到弦的距离，弦长一半构成勾股定理求解

99. 直线与圆交于两点，则（为原点）的面积为（ ） A．

B．

C． D．

【答案】A

【解析】由点到直线的距离的公式可得：原点到直线EF得距离为-3）到直线x-2y-3=0的距离面积为=

，故选A

，则 弦EF的长度为

， 同样可得，圆心（2，

， 则△EOF的

【考点】直线与圆的位置关系，点到直线的位置关系

点评：解决此题的关键是求出弦长，以及原点到直线的距离

100. 已知是抛物线上一点，为其焦点，点在圆上，则的最小值是____________ 【答案】5

【解析】抛物线准线为 ，

点睛：与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．