2022年甘肃省天水市中考数学试卷

2022年甘肃省天水市中考数学试卷

1. 下列四个实数中，是负数的是 (  )

A． −(−3)

B． (−2)2

C． ∣−4∣

D． −√5

2. 天水市某网店 2022 年父亲节这天的营业额为 341000 元，将数 341000 用科学记数法表示为 (  )

3. 某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体中，与“伏”字所在面相对面上的汉字是 (  ) A． 3.41×105

B． 3.41×106

C． 341×103

D． 0.341×106

4. 某小组 8 名学生的中考体育分数如下：39，42，44，40，42，43，40，42．该组数据的众数、中位数分别为 (  )

5. 如图所示，𝑃𝐴，𝑃𝐵 分别与 ⊙𝑂 相切于 𝐴，𝐵 两点，点 𝐶 为 ⊙𝑂 上一点，连接 𝐴𝐶，𝐵𝐶 , 若 ∠𝑃=70∘，则 ∠𝐴𝐶𝐵 的度数为 (  ) A． 40，42

B． 42，43

C． 42，42

D． 42，41

A．文

B．羲

C．弘

D．化

A． 50∘ B． 55∘

C． 60∘ D． 65∘

6. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 (  )

A． B．

C． D．

7. 若函数 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0) 的图象如图所示，则函数 𝑦=𝑎𝑥+𝑏 和 𝑦= 在同一平面直角

𝑥

𝑐

坐标系中的图象大致是 (  )

A． B．

C． D．

8. 如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆 𝐵𝐸 测量建筑物的高度，已知标杆 𝐵𝐸 高 1.5 m，测得 𝐴𝐵=1.2 m，𝐵𝐶=12.8 m，则建筑物 𝐶𝐷 的高是 (  )

9. 若关于 𝑥 的不等式 3𝑥+𝑎≤2 只有 2 个正整数解，则 𝑎 的取值范围为 (  )

10. 观察等式：2+22=23−2；2+22+23=24−2；2+22+23+44=25−2；⋯ 已知按一定规

律排列的一组数：2100，2101，2102，⋯，2199，2200，若 2100=𝑆，用含 𝑆 的式子表示这组数据的和是 (  )

11. 分解因式：𝑚3𝑛−𝑚𝑛= ．

12. 一个三角形的两边长分别为 2 和 5，第三边长是方程 𝑥2−8𝑥+12=0 的根，则该三角形的周

长为 ．

13. 已知函数 𝑦=

14. 已知 𝑎+2𝑏=

15. 如图所示，∠𝐴𝑂𝐵 是放置在正方形网格中的一个角，则 sin∠𝐴𝑂𝐵 的值是 ．

10

√𝑥+2，则自变量 𝑥−3

A． 17.5 m B． 17 m C． 16.5 m D． 18 m

A． −7<𝑎<−4 C． −7≤𝑎<−4

B． −7≤𝑎≤−4 D． −7<𝑎≤−4

A． 2𝑆2−𝑆 C． 2𝑆2−2𝑆

B． 2𝑆2+𝑆 D． 2𝑆2−2𝑆−2

𝑥 的取值范围是 ．

，3𝑎+4𝑏=3

163

，则 𝑎+𝑏 的值为 .

16. 如图所示，若用半径为 8，圆心角为 120∘ 的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个

圆锥的底面半径是 ．

17. 如图所示，将正方形 𝑂𝐸𝐹𝐺 放在平面直角坐标系中，𝑂 是坐标原点，点 𝐸 的坐标为 (2,3)，则

点 𝐹 的坐标为 ．

18. 如图，在边长为 6 的正方形 𝐴𝐵𝐶𝐷 内作 ∠𝐸𝐴𝐹=45∘，𝐴𝐸 交 𝐵𝐶 于点 𝐸，𝐴𝐹 交 𝐶𝐷 于点 𝐹，

连接 𝐸𝐹，将 △𝐴𝐷𝐹 绕点 𝐴 顺时针旋转 90∘ 得到 △𝐴𝐵𝐺．若 𝐷𝐹=3，则 𝐵𝐸 的长为 ．

19. 请回答：

10

(1) 计算：4sin60−∣∣√3−2∣∣+2022−√12+(4)．

∘

−1

(2) 先化简，再求值：

1

𝑎−1

−

𝑎−1𝑎2+2𝑎+1

÷

𝑎−1𝑎+1

，其中 𝑎=√3．

20. 为了解天水市民对全市创建全国文明城市工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在某个小区内进

行了调查统计．将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图． 请结合图中的信息，解决下列问题：

(1) 此次调查中接受调查的人数为 人； (2) 请你补全条形统计图；

(3) 扇形统计图中“满意”部分的圆心角为 度；

(4) 该兴趣小组准备从调查结果为“不满意”的 4 位市民中随机选择 2 位进行回访，已知这 4 位

市民中有 2 位男性，2 位女性．请用画树状图的方法求出选择回访的市民为“一男一女”的概率．

21. 如图所示，一次函数 𝑦=𝑚𝑥+𝑛(𝑚≠0) 的图象与反比例函数 𝑦=𝑥(𝑘≠0) 的图象交于第二、

四象限的点 𝐴(−2,𝑎) 和点 𝐵(𝑏,−1)，过 𝐴 点作 𝑥 轴的垂线，垂足为点 𝐶，△𝐴𝑂𝐶 的面积为 4．

𝑘

(1) 分别求出 𝑎 和 𝑏 的值；

(2) 结合图象直接写出 𝑚𝑥+𝑛>𝑥 中 𝑥 的取值范围；

(3) 在 𝑦 轴上取点 𝑃，使 𝑃𝐵−𝑃𝐴 取得最大值时，求出点 𝑃 的坐标．

22. 为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图所示，正在执

行巡航任务的海监船以每小时 40 海里的速度向正东方向航行，在 𝐴 处测得灯塔 𝑃 在北偏东 60∘ 方向上，继续航行 30 分钟后到达 𝐵 处，此时测得灯塔 𝑃 在北偏东 45∘ 方向上．（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）

𝑘

(1) 求 ∠𝐴𝑃𝐵 的度数；

(2) 已知在灯塔 𝑃 的周围 25 海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？

23. 如图，在 △𝐴𝐵𝐶 中，∠𝐶=90∘，𝐴𝐷 平分 ∠𝐵𝐴𝐶 交 𝐵𝐶 于点 𝐷，点 𝑂 在 𝐴𝐵 上，以点 𝑂 为

圆心，𝑂𝐴 为半径的圆恰好经过点 𝐷，分别交 𝐴𝐶，𝐴𝐵 于点 𝐸，𝐹．

(1) 试判断直线 𝐵𝐶 与 ⊙𝑂 的位置关系，并说明理由； (2) 若 𝐵𝐷=2√3，𝐴𝐵=6，求阴影部分的面积（结果保留 π）．

24. 解答下列问题．

(1) 【性质探究】

如图（1），在等腰三角形 𝐴𝐵𝐶 中，∠𝐴𝐶𝐵=120∘，则底边 𝐴𝐵 与腰 𝐴𝐶 的长度之比为 ．

(2) 【理解运用】

（1）若顶角为 120∘ 的等腰三角形的周长为 4+2√3，则它的面积为 ；

（2）如图（2），在四边形 𝐸𝐹𝐺𝐻 中，𝐸𝐹=𝐸𝐺=𝐸𝐻．在边 𝐹𝐺，𝐺𝐻 上分别取中点 𝑀，𝑁，连接 𝑀𝑁．若 ∠𝐹𝐺𝐻=120∘，𝐸𝐹=20，求线段 𝑀𝑁 的长．

(3) 【类比拓展】

顶角为 2𝛼 的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为 （用含 𝛼 的式子表示）．

25. 天水市某商店准备购进 A，B 两种商品，A 种商品每件的进价比 B 种商品每件的进价多 20 元，

用 2000 元购进种 A 商品和用 1200 元购进 B 种商品的数量相同．商店将 A 种商品每件的售价定为 80 元，B 种商品每件的售价定为 45 元．

(1) A 种商品每件的进价和 B 种商品每件的进价各是多少元？

(2) 商店计划用不超过 1560 元的资金购进 A，B 两种商品共 40 件，其中 A 种商品的数量不

低于 B 种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？

(3) “五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件 A 种商品售价优惠 𝑚(10<𝑚<20) 元，

B 种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出 𝑚 的不同取值范围内，销售这 40 件商品获得总利润最大的进货方案．

26. 如图所示，抛物线 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0) 与 𝑥 轴交于 𝐴，𝐵 两点，与 𝑦 轴交于点 𝐶，且点

𝐴 的坐标为 𝐴(−2,0)，点 𝐶 的坐标为 𝐶(0,6)，对称轴为直线 𝑥=1．点 𝐷 是抛物线上一个动点，设点 𝐷 的横坐标为 𝑚(1<𝑚<4)，连接 𝐴𝐶，𝐵𝐶，𝐷𝐶，𝐷𝐵．

(1) 求抛物线的函数表达式；

(2) 当 △𝐵𝐶𝐷 的面积等于 △𝐴𝑂𝐶 的面积的 4 时，求 𝑚 的值；

(3) 在（2）的条件下，若点 𝑀 是 𝑥 轴上一动点，点 𝑁 是抛物线上一动点，试判断是否存在这

样的点 𝑀，使得以点 𝐵，𝐷，𝑀，𝑁 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 𝑀 的坐标；若不存在，请说明理由．

3

答案

1. 【答案】D

2. 【答案】A

3. 【答案】D

4. 【答案】C

5. 【答案】B

6. 【答案】C

7. 【答案】B

8. 【答案】A

9. 【答案】D

10. 【答案】A

11. 【答案】 𝑚𝑛(𝑚+1)(𝑚−1)

12. 【答案】 13

13. 【答案】 𝑥≥−2 且 𝑥≠3

14. 【答案】 1

15. 【答案】

16. 【答案】 3

【解析】设圆锥的底面半径是 𝑟， 由题意得，

120π×81808√2 2

=2πr，

解得：𝑟=3．

8

17. 【答案】 (−1,5)

18. 【答案】 2

【解析】思路分析：标准的正方形中半角模型题，题目中已经给出一组旋转型全等，我们只需要借助旋转得出的条件，证明下一组对称型全等，最后使用勾股定理列方程即可. 由题意，可得 △𝐴𝐷𝐹≌△𝐴𝐵𝐺， ∴𝐷𝐹=𝐵𝐺，∠𝐷𝐴𝐹=∠𝐵𝐴𝐺， ∵∠𝐷𝐴𝐵=90∘，∠𝐸𝐴𝐹=45∘， ∴∠𝐷𝐴𝐹+∠𝐸𝐴𝐵=45∘， ∴∠𝐵𝐴𝐺+∠𝐸𝐴𝐵=45∘， ∴∠𝐸𝐴𝐹=∠𝐸𝐴𝐺， 在 △𝐸𝐴𝐺 和 △𝐸𝐴𝐹 中， 𝐴𝐺=𝐴𝐹,

{∠𝐸𝐴𝐺=∠𝐸𝐴𝐹, 𝐴𝐸=𝐴𝐸,

∴△𝐸𝐴𝐺≌△𝐸𝐴𝐹(SAS)， ∴𝐺𝐸=𝐹𝐸，

设 𝐵𝐸=𝑥，则 𝐺𝐸=𝐵𝐺+𝐵𝐸=3+𝑥，𝐶𝐸=6−𝑥， ∴𝐸𝐹=3+𝑥， ∵𝐶𝐷=6，𝐷𝐹=3， ∴𝐶𝐹=3， ∵∠𝐶=90∘，

∵(6−𝑥)2+32=(3+𝑥)2， 解得，𝑥=2， 即 𝐵𝐸=2． 故答案为：2

19. 【答案】

原式=4×(1)

原式=𝑎−1−(𝑎+1)2×𝑎−1

(2)

=𝑎−1−𝑎+1==𝑎2−1.

当 𝑎=√3 时，

𝑎+1−𝑎+1(𝑎−1)(𝑎+1)21

1

1

𝑎−1

𝑎+1

−(2−√3)+1−2√3+4

=2√3−2+√3+1−2√3+4

=√3+3.

√32

原式=

=

2√3−123−12

2

=2

20. 【答案】

(1) 50

=1.

(2) 50−(4+8+18)=20，补全的统计图如图所示： (3) 144

(4) 𝑃(一男一女)=12=3． 【解析】

(1) 18÷36%=50（人）． (3) 50×360∘=144∘．

21. 【答案】

(1) 由题意得：𝑆△𝐴𝑂𝐶=2∣𝑘∣=4． ∴∣𝑘∣=8，𝑘=±8．

又 ∵ 反比例函数图象经过第二、四象限， ∴𝑘=−8，𝑦=

−8𝑥

1

20

8

2

．

−8−2

当 𝑥=−2 时，𝑎=

−8

=4；

当 𝑦=−1 时，𝑏=−1，解得 𝑏=8． (2) 𝑥<−2 或 0<𝑥<8．

(3) ∵𝐴(−2,4) 关于 𝑦 轴的对称点为 𝐴ʹ(2,4)，

又 𝐵(8,−1)，则直线 𝐴ʹ𝐵 与 𝑦 轴的交点即为所求 𝑃 点． 设直线 𝐴ʹ𝐵 的解析式为 𝑦=𝑐𝑥+𝑑， 𝑐=−6,2𝑐+𝑑=4,

则 { 解得 {17 8𝑐+𝑑=−1,𝑑=,

35

∴ 直线 𝐴ʹ𝐵 的解析式为 𝑦=−6𝑥+

17

5173

．

∴ 直线 𝐴ʹ𝐵 与 𝑦 轴的交点为 (0,3)． 即点 𝑃 的坐标为 𝑃(0,3)．

17

22. 【答案】

(1) 作 𝑃𝐻⊥𝐴𝐵 交 𝐴𝐵 的延长线于点 𝐻，

则 ∠𝑃𝐴𝐵=90∘−60∘=30∘，∠𝑃𝐵𝐻=90∘−45∘=45∘， ∴∠𝐴𝑃𝐵=∠𝑃𝐵𝐻−∠𝑃𝐴𝐵=45∘−30∘=15∘． (2) 设 𝑃𝐻=𝑥 海里，则 𝐵𝐻=𝑃𝐻=𝑥 海里， 𝐴𝐵=40×

3060

=20 海里，

𝑃𝐻

在 Rt△APH 中，tan30∘=𝐴𝐻， ∴20+𝑥=

𝑥

√3， 3

解得：𝑥=10√3+10≈27.32>25． ∴ 海监船继续向正东方向航行安全．

23. 【答案】

(1) 𝐵𝐶 与 ⊙𝑂 相切．理由如下： 连接 𝑂𝐷，

∵𝐴𝐷 平分 ∠𝐵𝐴𝐶， ∴∠𝐶𝐴𝐷=∠𝑂𝐴𝐷， 又 ∵𝑂𝐴=𝑂𝐷， ∴∠𝑂𝐴𝐷=∠𝑂𝐷𝐴， ∴∠𝐶𝐴𝐷=∠𝑂𝐷𝐴， ∴𝑂𝐷∥𝐴𝐶，

∴∠𝐵𝐷𝑂=∠𝐶=90∘， 又 ∵𝑂𝐷 为 ⊙𝑂 的半径， ∴𝐵𝐷 与 ⊙𝑂 相切．

(2) 设 ⊙𝑂 的半径为 𝑟，则 𝑂𝐴=𝑂𝐷=𝑟，𝑂𝐵=6−𝑟， 由（1）知 ∠𝐵𝐷𝑂=90∘，

在 Rt△BOD 中，𝑂𝐷2+𝐵𝐷2=𝑂𝐵2， 即 𝑟2+(2√3)=(6−𝑟)2． 解得 𝑟=2． ∵tan∠𝐵𝑂𝐷=

𝐵𝐷𝑂𝐷2

=

2√32

=√3，

∴∠𝐵𝑂𝐷=60∘，

∴𝑆阴影=𝑆△𝐵𝑂𝐷−𝑆扇形𝑂𝐷𝐹

=

=

11

⋅𝑂𝐷⋅𝐵𝐷−2

2

60πr2360

60×π×22 360

×2×2√3−2

=2√3−3π.

24. 【答案】

(1) √3:1（或 √3） (2) （1）√3

（2）∵∠𝐹𝐺𝐻=120∘，𝐸𝐹=𝐸𝐺=𝐸𝐻，

∴∠𝐸𝐹𝐺+∠𝐸𝐻𝐺=∠𝐹𝐺𝐸+∠𝐻𝐺𝐸=∠𝐹𝐺𝐻=120∘， 又 ∵∠𝐹𝐸𝐻+∠𝐸𝐹𝐺+∠𝐸𝐻𝐺+∠𝐹𝐺𝐻=360∘， ∴∠𝐹𝐸𝐻=360∘−120∘−120∘=120∘． 连接 𝐹𝐻， ∵𝐸𝐹=𝐸𝐻．

∴△𝐸𝐹𝐻 为顶角为 120∘ 的等腰三角形， ∴𝐹𝐻=√3𝐸𝐹=20√3．

∵𝑀，𝑁 分别为 𝐹𝐺，𝐺𝐻 的中点， ∴𝑀𝑁 为 △𝐹𝐺𝐻 的中位线． ∴𝑀𝑁=2𝐹𝐻=2×20√3=10√3． (3) 2sin𝛼:1（或 2sin𝛼） 【解析】

(1) 过点 𝐶 作 𝐶𝐷⊥𝐴𝐵 于点 𝐷， ∵△𝐴𝐵𝐶 是等腰三角形，∠𝐴𝐶𝐵=120∘， ∴∠𝐶𝐴𝐵=30∘，𝐴𝐷=𝐷𝐵，

∴𝐴𝐵=2𝐴𝐷=2×𝐴𝐶×cos30∘=√3𝐴𝐶， ∴𝐴𝐵:𝐴𝐶=√3:1．

25. 【答案】

(1) 设 A 种商品每件的进价为 𝑥 元，B 种商品每件的进价为 (𝑥−20) 元． 依题意得

2000𝑥

1200

1

1

=𝑥−20.解得𝑥=50.经检验 𝑥=50 是原方程的解且符合题意，

当 𝑥=50 时，𝑥−20=30．

答：A 种商品每件的进价为 50 元，B 种商品每件的进价为 30 元． (2) 设购进 A 种商品 𝑎 件，购进 B 种商品 (40−𝑎) 件，

50𝑎+30(40−𝑎)≤1560,40

依题意得{解得≤𝑎≤18.∵𝑎 为整数， 1

3𝑎≥(40−𝑎).

2

∴𝑎=14,15,16,17,18． ∴ 该商店有 5 种进货方案．

(3) 设销售 A，B 两种商品总获利 𝑦 元，

则 𝑦=(80−50−𝑚)𝑎+(45−30)(40−𝑎)=(15−𝑚)𝑎+600．

①当 𝑚=15 时，15−𝑚=0，𝑦 与 𝑎 的取值无关，即（2）中的五种方案都获利 600 元； ②当 10<𝑚<15 时，15−𝑚>0，𝑦 随 𝑎 的增大而增大，

∴ 当 𝑎=18 时，获利最大，即在（2）的条件下，购进 A 种商品 18 件，购进 B 种商品 22 件，获利最大；

③当 15<𝑚<20 时，15−𝑚<0，𝑦 随 𝑎 的增大而减小， ∴ 当 𝑎=14 时，获利最大，

即在（2）的条件下，购进 A 种商品 14 件，购进 B 种商品 26 件，获利最大．

26. 【答案】

𝑏𝑎=−,−=1,42𝑎

3(1) 由题意得 {4𝑎−2𝑏+𝑐=0, 解得 {𝑏=, 2

𝑐=6,𝑐=6.

3

故抛物线的函数表达式为 𝑦=−4𝑥2+2𝑥+6．

(2) 过点 𝐷 作 𝐷𝐸⊥𝑥 轴于点 𝐸，交 𝐵𝐶 于点 𝐺， 过点 𝐶 作 𝐶𝐹⊥𝐸𝐷 交 𝐸𝐷 的延长线于点 𝐹． ∵ 点 𝐴 的坐标为 (−2,0)， ∴𝑂𝐴=2．

∵ 点 𝐶 的坐标为 (0,6)， ∴𝑂𝐶=6．

∴𝑆△𝐴𝑂𝐶=2𝑂𝐴⋅𝑂𝐶=2×2×6=6． ∴𝑆△𝐵𝐶𝐷=4𝑆△𝐴𝑂𝐶=4×6=2．

当 𝑦=0 时，−𝑥2+𝑥+6=0，解得 𝑥1=−2，𝑥2=4．

4

2

3

3

3

3

9

1

1

33

∴𝐵(4,0)．

设直线 𝐵𝐶 的函数表达式为 𝑦=𝑘𝑥+𝑛， 4𝑘+𝑛=0,𝑘=−2,

则 { 解得 {

𝑛=6,𝑛=6,

∴ 直线 𝐵𝐶 的函数表达式为 𝑦=−2𝑥+6． 则点 𝐷 的坐标为 𝐷(𝑚,−4𝑚2+2𝑚+6)， 点 𝐺 的坐标为 𝐺(𝑚,−𝑚+6)．

23

3

3

3

3

∴𝐷𝐺=−𝑚2+𝑚+6−(−𝑚+6)=−𝑚2+3𝑚．

4

2

2

4

3333

∵ 点 𝐵 的坐标为 (4,0)， ∴𝑂𝐵=4．

∴𝑆△𝐵𝐶𝐷=𝑆△𝐶𝐷𝐺+𝑆△𝐵𝐷𝐺

=2𝐷𝐺⋅𝐶𝐹+2𝐷𝐺⋅𝐵𝐸

11112

1

=2𝐷𝐺(𝐶𝐹+𝐵𝐸)=2𝐷𝐺⋅𝐵𝑂

34

=×(−𝑚2+3𝑚)×4=−𝑚2+6𝑚.

23

则有 −2𝑚2+6𝑚=2，

解得 𝑚1=1（不合题意，舍去），𝑚2=3． ∴𝑚 的值为 3．

(3) 存在，点 𝑀 的坐标为 (8,0)，(0,0)，(√14,0)，(−√14,0)． 【解析】

(3) 在 𝑦=−4𝑥2+2𝑥+6 中， 当 𝑥=3 时，𝑦= ∴𝐷(3,4)． 分三种情况讨论：

①当 𝐷𝐵 为对角线时，如图（1）， 易知点 𝐷 与点 𝑁 关于直线 𝑥=1 对称． ∴𝑁(−1,4)，𝐷𝑁=4， ∴𝐵𝑀=4， 又 ∵𝐵(4,0)， ∴𝑀1(8,0)．

②当 𝐷𝑀 为对角线时，如图（2）， 𝑁(−1,4)，𝐷𝑁=4， ∴𝐵𝑀=4． 又 ∵𝐵(4,0)， ∴𝑀2(0,0)．

③当 𝐷𝑁 为对角线时，

∵𝐷(3,)，易知点 𝑁 的纵坐标为 −．

44将 𝑦=−4 代入 𝑦=−4𝑥2+2𝑥+6 中， 得 −4𝑥2+2𝑥+6=−4，

3

3

15

15

3

3

15

15

151515

13

3

39

，

解得 𝑥1=1+√14，𝑥2=1−√14．

当 𝑥=1+√14 时，点 𝑁 的位置如图（3）所示， 则 𝑁(1+√14,−

√15)． 4

分别过点 𝐷，𝑁 作 𝑥 轴的垂线，垂足分别为点 𝐸，𝑄， 易证 △𝐷𝐸𝑀≌△𝑁𝑄𝐵．

∵𝐵𝑄=1+√14−4=√14−3， ∴𝐸𝑀=√14−3，

又 ∵𝐸(3,0)， ∴𝑀3(√14,0)．

当 𝑥=1−√14 时，点 𝑁 的位置如图（4）所示， 则 𝑁(1−√14,−4)．

同理易得点 𝑀 的坐标为 𝑀4(−√14,0)．

综上所述，点 𝑀 的坐标为 (8,0)，(0,0)，(√14,0)，(−√14,0)．

15