高三数学一轮复习 幂函数巩固与练习 试题

1．(2010年滨州模拟)函数y＝(m－1)xm2

－m为幂函数，则函数为( ) A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数

解析：选B.由题意知m＝2，则该函数为y＝x2

，故选B.

2．(2008年高考山东卷)给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )

A．3 B．2 C．1 D．0

解析：选C.原命题正确，所以逆否命题也正确；逆命题错误，所以否命题也错误，故真命题的个数是1. 3．下列命题：

①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)； ②幂函数的图象不可能在第四象限； ③n＝0时，函数y＝xn的图象是一条直线； ④幂函数y＝xn，当n＞0时是增函数；

⑤幂函数y＝xn，当n＜0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小． 其中正确的是( )

A．①④ B．④⑤ C．②③ D．②⑤

解析：选D.当y＝x－1

时，不过(0,0)点，①错误；当n＝0时，y＝xn中x≠0，故其图象是去掉(0,0)点的一条直线，③错；y＝x2在(－∞，0)上是减函数，(0，＋∞)上是增函数，④错．故选D.

4．函数y＝|x|9*

n(n∈N，n＞9)的图象可能是( )

解析：选C.令n＝18，则函数y＝|x|1

2

，∴该函数为偶函数，

∴函数y＝|x|12的图象关于y轴对称，故排除A、B，当x≥0时，由y＝x1

2在第一象限的图象可知应选C.

5．已知函数f(x)＝x1－a3的定义域是非零实数，且在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，

则最小的自然数a等于( )

A．0 B．1

C．2 D．3

解析：选D.∵f(x)的定义域是{x|x∈R且x≠0}， ∴1－a＜0，即a＞1.

又∵f(x)在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数， ∴a－1＝2，即a＝3，故选D.

6．已知幂函数f(x)的图象经过点(18，2

4)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1＜x2)是函数图象上的任意不同两点，

给出以下结论：

①x1f(x1)＞x2f(x2)；②x1f(x1)＜x2f(x2)；③f(x1)x＞f(x2)；④f(x1)＜f(x2)

.其中正确结论的序号是( ) 1x2x1x2

A．①② B．①③ C．②④ D．②③

解析：选D.依题意，设f(x)＝xα，则有(18)α＝24，即(18)α＝(18)12，所以α＝112，于是f(x)＝x2.由于函

数f(x)＝x1

2

在定义域[0，＋∞)内单调递增，所以当x1＜x2时，必有f(x1)＜f(x2)，从而有x1f(x1)故②正确；又因为f(x1)x，f(x2)

分别表示直线OP、OQ的斜率，结合函数图象，容易得出直线OP的斜率大于直

1x2

线OQ的斜率，故

f(x1)f(xx＞2)，所以③正确．故选D. 1x2

7．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点(122，2

)，则k＋α＝________.

解析：由幂函数的定义得k＝1，再将点(12，22)代入得22＝(12)α，从而α＝13

2，故k＋α＝2. 答案：3

2

8．(2010年山东济南模拟)设函数f1－12

1(x)＝x2，f2(x)＝x，f3(x)＝x，则f1(f2(f3(2010)))＝________.

解析：f2

1(f2(f3(2010)))＝f1(f2(2010)) ＝f2－1)＝((20102)－1)112＝2010－1

1((2010)＝2010. 答案：

1

2010

9．0.312，2.211

2，2.12

这三个数从小到大排列为________．

解析：由于函数f(x)＝x12在[0，＋∞)上是递增函数，所以f(0.3)2<2.12<2.22.

答案：0.3112<2.11

2<2.22

10．已知函数f(x)＝(m2

＋2m)·xm2

＋m－1，求m为何值时，f(x)是(1)二次函数；(2)幂函数． 解：(1)若f(x)为二次函数，

2

则m＋m－1＝2

⇒m＝m2

＋2m≠0

－1±13

2

.

(2)若f(x)是幂函数，则m2

＋2m＝1， ∴m＝－1±2.

11．若函数f(x)＝(mx2＋4x＋m＋2)－320

4

＋(x－mx＋1)的定义域为R，求实数m的取值范围．

解：设g(x)＝mx2

＋4x＋m＋2，①

h(x)＝x2－mx＋1，②

原题可转化为对一切x∈R有g(x)＞0且h(x)≠0恒成立． 由①得



m＞0，Δ2

1＝4－4m(m＋2)＜0.

即m＞0



m2

＋2m－4＞0



m＞0，

⇒m＜－1－5，或m＞－1＋5，

∴m＞－1＋5.

由②得Δ－m)2

2＝(－4＜0，即－2＜m＜2. 综上可得5－1＜m＜2.

12．已知函数f(x)＝2x－xm，且f(4)＝－7

2.

(1)求m的值；

(2)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明． 解：(1)∵f(4)＝－7

2，

∴24－4m＝－7

2

.∴m＝1. (2)f(x)＝2

x－x在(0，＋∞)上单调递减，证明如下：

任取0＜x1＜x2，则

f(x22

1)－f(x2)＝(x－x1)－(x－x2)

12

＝(x2

2－x1)(

x1)．

1x＋2

∵0＜x1＜x2， ∴x2－x1＞0，

2

x＋1＞0.

1x2

∴f(x1)－f(x2)＞0. ∴f(x1)＞f(x2)，

即f(x)＝2

x－x在(0，＋∞)上单调递减．