数学模型在《线性代数》教学中的应用实例(一)

线性代数 矩阵

生态学：海龟种群统计数据

该模型在高等数学教学应用的目的：

1． 通过生动有趣的实例激发学生的学习积极性，在分析问题和解决问题的过程中培养学生的创新意识。

2． 使学生掌握建立矩阵代数模型的基本过程，能熟练地将矩阵的知识应用于实际问题。培养学生将实际问题抽象成数学模型，又用数学模型的结果解释实际现象的能力。

3． 巩固矩阵的概念和计算。 生态学：海龟种群统计数据

管理和保护许多野生物种，依赖于我们建立种群的动态模型的能力。一个常规的建模技术是，把一个物种的生命周期划分为几个阶段。该模型假设：每阶段的种群规模只依赖于母海龟的种群数；每只母海龟能够存活到下一年的概率依赖于其处在生命周期的那个阶段，而与个体的具体年龄无直接关系。举例来说，可以用一个四阶段的模型来分析海龟种群的动态。在每一阶段估计出存活一年的概率，还有每一年产卵的概率，如下表所示。 阶段 1 2 3 4 海龟种群动态的四阶段模型 说明（年龄） 每年存活率 每年产卵数 卵，孵化（<1） 未成年（1—21） 无经验繁殖期（22） 成熟繁殖期（23—54） 0.67 0.74 0.81 0.81 0 0 127 79 如果di表示第i个阶段的持续时间，si表示该阶段的每年存活率，那么可以证明，在第i阶段可以存活到下一年的比例是

1sidi1pis dii1si种群可以存活且在次年进入下一阶段的比例是

qisidi1si1sdii

如果用ei表示第i阶段的成员1年内产卵的平均数，构造矩阵

p1qL100e2p2q20e30p3q3e40 0p4那么L可以用来预测未来几年每阶段的种群数。上述形式的矩阵称为Leslie（莱斯利）矩阵，相应的种群模型有时也称为莱斯利种群模型。根据前面表格数据，我们模型的莱斯利矩阵是

01277900.670.739400 L00.000600000.810.8077假设每阶段的初始种群数分别是200000、300000、500和1500，用向量x0来表示，1年后

每阶段的种群数可以如下计算

01277920000018200000.670.739403000003558200 x1Lx000.000600500180000.810.807715001617（这里的计算进行了四舍五入）。为了得到2年后的种群数，再用矩阵L乘一次。

x2Lx1L2x0

一般来说，k年后的种群数由公式xkx25和x50，如下表所示。

海龟种群 阶段 初始种群 10年 25年 1 2 3 4 200000 114264 500 1500 214 1061 74039 139 687 50年 35966 68 334 Lkx0给出。为了了解更长时期的趋势，计算出x10、

300000 329212 213669 103795 这个模型预测50年后繁殖期的海龟总数下降了80%。

下面的文献[1]介绍了一个七阶段的种群动态模型，文献[2]是莱斯利原来那篇文章。 思考：海龟最终是否会灭绝？如果不灭绝，海龟种群数有无稳定值？该模型用到了那些数学知识？该模型可以进行怎样的推广？

参考文献

1. Crouse, Deborah T., Larry B. Crowder, and Hal Caswell, “A Stage-Based Population Model

for Loggerhead Sea Turtles and Implications for Conservation,” Ecology, 68(5), 1987

2. Leslie, P. H., “On the Use of Matrices in Certain Population Mathematics,” Biometrika, 33,

1945.

数学模型在《线性代数》教学中的应用实例（二） 课 程： 教 学 内 容： 数 学 模 型：

线性代数 矩阵特征值和特征向量

互联网：Google搜索引擎的PageRank

该模型在高等数学教学应用的目的：

1． 通过生动有趣的实例激发学生的学习积极性，在分析问题和解决问题的过程中培养学生的创新意识。

2． 使学生掌握建立矩阵代数模型的基本过程，能熟练地将矩阵的知识应用于实际问题。培养学生将实际问题抽象成数学模型，又用数学模型的结果解释实际现象的能力。

3． 巩固矩阵特征值和特征向量的概念和计算。 互联网：Google搜索引擎的PageRank

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您查询的页面地址：www.bupt.edu.cn 您查询的页面地址：www.tonghui.org 例如，观察如下的网页链接图。

再例如，

上图对应的网页连接表如下， 反向链接源 2，3，5，6 1，3，4 结点 1 2 正向链接目标 2，3，4，5，7 1 1，4，5 1，5 1，4，6，7 5 1 可写出如下的邻接矩阵，

3 4 5 6 7 1，2 2，3，5 1，3，4，6 1，5 5 011A011000.20.2M0.20.200.2101100010011001000100100101100001001000 000将邻接矩阵转置后再按列单位化，即可得到概率转移矩阵

10.500.250.5000.50.33000000.330.25000100.2500 010.3300.510000.2500000000将各个网页的PR记作xi，记x=(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)T，则应有Mx=x。想一想，为什么？

（在此复习特征值和特征向量的定义）

可编写如下的Matlab程序，prog2.m

A=[0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0]; M=A';

M=M*inv(diag(sum(M))); [V,D]=eig(M);

disp('PageRank:'); disp(V(:,1));

计算后可得如下结果：

>> prog2 PageRank: 0.6995 0.3829 0.3240 0.2430 0.4123 0.1031 0.1399

思考：Matlab中eig函数使用的算法在大规模矩阵（100亿阶矩阵）运算时，不可行，如何解决此困难？

办法：可以使用幂法（x(k+1)=Mx(k)）求解M的对应于特征值1的特征向量，即PageRank。改写程序如下，prog3.m

A=[0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0]; M=A';

M=M*inv(diag(sum(M)));

x=ones(7,1);x=x/norm(x);n=50; for i=1:n

x(:,i+1)=M*x(:,i); end

disp('PageRank:');

y=x(:,n+1);y=y/norm(y);disp(y);

计算结果与前面程序一致。

（再结合生态学：海龟种群统计数据模型，回答思考题）

参考文献

1. 《Google 的秘密- PageRank 彻底解说 中文版》，http://www.kreny.com/pagerank_cn.htm 2. 《Google 公司信息：技术》，http://www.google.com/intl/zh-CN/corporate/tech.html 3. 《网页排名算法及其应用》，徐德志、申红婷，贵州大学学报，2007年9月，第24卷第

5期，491~494