平行线及其判定(提高)知识讲解

平行线及其判定（提高）知识讲解

【学习目标】

1.熟练掌握平行线定义及画法； 2.掌握平行公理及其推论；

3.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行. 【要点梳理】

要点一、平行线及平行公理 1.平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 两直线平行，用符号“∥”表示. 如下图，两条直线互相平行，记作AB∥CD或a∥b.

要点诠释：

（1）同一平面内，两条直线的位置关系：相交和平行.

（2）互相重合的直线通常看作一条直线，两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行. 2.平行线的画法

用直尺和三角板作平行线的步骤：

①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.

③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 3.平行公理及推论

平行公理：经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．

推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 要点诠释：

(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． (2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一． （3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 4. 两条平行线间的距离

同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线 间的距离． 要点诠释：

（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．

(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即两条平行线之间的距离处处相等． 要点二、平行线的判定

判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵ ∠3＝∠2

∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）

判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵ ∠1＝∠2

∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言： ∵ ∠4＋∠2＝180°

∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 要点诠释：

（1）平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形. （2）今后我们用符号“∵”表示“因为”，用“∴”表示“所以”. 【典型例题】

类型一、平行公理及推论

1．在同一平面内，下列说法：（1）过两点有且只有一条直线；（2）两条直线有且只有一个公共点；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行. 其中正确的个数为：( ) . A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B

【解析】正确的是：（1）(3).

【总结升华】对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意区分不同表述之间的联系和区别． 举一反三：

【变式】下列说法正确的个数是 ( ) .

（1）直线a、b、c、d，如果a∥b、c∥b、c∥d，则a∥d.

（2）两条直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直. （3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等.

（4）在同一平面内，如果两直线都垂直于同一条直线，那么这两直线平行．

A．1个 B .2个 C．3个 D．4个 【答案】B

2.下面两条平行线之间的三个图形，图 的面积最大，图 的面积最小．

【思路点拨】两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半；两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，每个梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半.因为高相同，所以可以通过比较平行四边形的底的长短，得出平行四边形面积的大小. 【答案】图3，图2 【解析】

解：因为它们的高相等，三角形的底是8，8÷2=4，梯形的上、下底之和除以2，（2+7）÷2=4.5；5＞4.5＞4；

所以，图3平行四边形的面积最大，图2三角形的面积最小.

【总结升华】根据平行线的性质，得出梯形、三角形、平行四边形的高相等，求出三角形底的一半，梯形上、下底之和的一半，与平行四边形的底进行比较，由此得出正确答案. 举一反三：

【变式】下图是一个方形螺线．已知相邻均为1厘米，则螺线总长度是 厘米.

【答案】35

类型二、平行线的判定

3. 如图，给出下列四个条件：（1）AC＝BD；（2）∠DAC＝∠BCA；（3）∠ABD＝∠CDB；（4）∠ADB＝∠CBD,其中能使AD∥BC的条件有 （ ）. A．（1）（2） B．（3）（4） C．（2）（4） D．（1）（3）（4）

【思路点拨】欲证AD∥BC，在图中发现AD、BC被一直线所截，故可按同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行补充条件． 【答案】C

【解析】从分解图形入手，即寻找AD、BC的截线.

【总结升华】从题目的结论出发分析所要说明的结论能成立，必须具备的是哪些条件，再看

这些条件成立又需具备什么条件，直到追溯到已知条件为止． 举一反三：

【变式】一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( )

A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130° C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130° D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130° 【答案】A 提示：“方向相同”有两层含义，即路线平行且方向相同，在此基础上准确画出示意图．

图B显然不同向，因为路线不平行．

图C中，∠1＝180°-130°＝50°，路线平行但不同向． 图D中，∠1＝180°-130°＝50°，路线平行但不同向． 只有图A路线平行且同向，故应选A．

4. 如图所示，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°．试说明AB∥EF的理由．

【思路点拨】利用辅助线把AB、EF联系起来．

【答案与解析】

解法1：如图所示，在∠BCD的内部作∠BCM＝25°，在∠CDE的内部作∠EDN＝10°．

∵ ∠B＝25°，∠E＝10°(已知)，

∴ ∠B＝∠BCM，∠E＝∠EDN(等量代换)．

∴ AB∥CM，EF∥DN(内错角相等，两直线平行)． 又∵ ∠BCD＝45°，∠CDE＝30°(已知)， ∴ ∠DCM＝20°，∠CDN＝20°(等式性质)．

∴ ∠DCM＝∠CDN(等量代换)．

∴ CM∥DN(内错角相等，两直线平行)． ∵ AB∥CM，EF∥DN(已证)， ∴ AB∥EF(平行线的传递性)．

解法2：如图所示，分别向两方延长线段CD交EF于M点、交AB于N点．

∵ ∠BCD＝45°，∴ ∠NCB＝135°． ∵ ∠B＝25°，

∴ ∠CNB＝180°-∠NCB-∠B＝20°(三角形的内角和等于180°)． 又∵∠CDE＝30°，∴∠EDM＝150°． 又∵∠E＝10°，

∴ ∠EMD＝180°-∠EDM-∠E＝20°(三角形的内角和等于180°)． ∴ ∠CNB＝∠EMD(等量代换)．

所以AB∥EF(内错角相等，两直线平行)． 【总结升华】判定两条直线平行的方法有四种，选择哪种方法要根据问题提供的条件来灵活选取． 举一反三：

【高清课堂：平行线及判定403102经典例题2 】

【变式】已知，如图，BE平分ABD，DE平分CDB，且1与2互余，试判断直线AB、CD的位置关系，请说明理由．

【答案】

解：AB∥CD，理由如下：

∵ BE平分∠ABD，DE平分∠CDB， ∴ ∠ABD＝2∠1，∠CDB＝2∠2． 又∵ ∠1+∠2＝90°，

∴ ∠ABD+∠CDB＝180°．

∴ AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．

平行线及其判定（提高）巩固练习

【巩固练习】

一、选择题

1.下列说法中正确的有( ) . ①一条直线的平行线只有一条．

②过一点与已知直线平行的直线只有一条． ③因为a∥b，c∥d，所以a∥d．

④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，则这两个角( ) . A．相等 B．互补 C．互余 D．相等或互补 3．如图，能够判定DE∥BC的条件是 ( ) .

A．∠DCE+∠DEC＝180° B．∠EDC＝∠DCB C．∠BGF＝∠DCB D．CD⊥AB，GF⊥AB

4．一辆汽车在广阔的草原上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，那么这两次拐弯的角度可能是 ( ) ．

A．第一次向右拐40°，第二次向右拐140° B．第一次向右拐40°，第二次向左拐40° C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140° D．第一次向右拐140°，第二次向左拐40°

5．如图所示，下列条件中，不能推出AB∥CE成立的条件是 ( ) .

A．∠A＝∠ACE B．∠B＝∠ACE C．∠B＝∠ECD D．∠B+∠BCE＝180° 6.( 绍兴)学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图，(1)—(4)）:

从图中可知，小敏画平行线的依据有（ ）.

①两直线平行，同位角相等．②两直线平行，内错角相等．③同位角相等，两直线平行． ④内错角相等，两直线平行．

A.①② B. ②③ C. ③④ D. ④① 二、填空题

7. 在同一平面内的三条直线，它们的交点个数可能是________．

8．如图，DF平分∠CDE，∠CDF＝55°，∠C＝70°，则________∥________．

9．规律探究：同一平面内有直线a1，a2，a3…，a100，若a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4…，按此规律，a1和a100的位置是________．

10．已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40°，则另一个角的度数是 ．

11．直线l同侧有三点A、B、C，如果A、B两点确定的直线l 与B、C两点确定的直线l都与l平行，则A、B、C三点 ，其依据是 ．

12. 如图，AB⊥EF于点G，CD⊥EF于点H，GP平分∠EGB，HQ平分∠CHF，则图中互相平行的直线有 ．

三、解答题

13.如图，∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝100°，要使AB∥EF，∠4应为多少度?说明理由．

14．小敏有一块小画板(如图所示)，她想知道它的上下边缘是否平行，而小敏身边只有一个量角器，你能帮助她解决这一问题吗?

15．如图，把一张长芳形纸条ABCD沿AF折叠，已知∠ADB＝20°，那么∠BAF为多少度时，才能使AB′∥BD?

16．如图所示，由∠1＝∠2，BD平分∠ABC，可推出哪两条线段平行，写出推理过程，如果推出另两条线段平行，则应将以上两条件之一作如何改变?

【答案与解析】 一、选择题

1. 【答案】A；

【解析】只有④正确，其它均错． 2. 【答案】D； 3. 【答案】B；

【解析】内错角相等，两直线平行． 4. 【答案】B； 5. 【答案】B；

【解析】∠B和∠ACE不是两条直线被第三条直线所截所得到的角． 6. 【答案】C；

【解析】解决本题关键是理解折叠的过程，图中的虚线与已知的直线垂直，过点P的折痕与虚线垂直． 二、填空题

7. 【答案】0或1或2或3个； 8. 【答案】BC， DE；

【解析】∠CFD＝180°－70°－55°＝55°，而∠FDE＝∠CDF＝55°，所以∠CFD＝∠FDE．

9. 【答案】a1∥a100；

【解析】为了方便，我们可以记为a1⊥a2∥a3⊥a4∥a5⊥a6∥a7⊥a8∥a9⊥a10…∥a97⊥a98∥a99⊥a100，因为a1⊥a2∥a3，所以a1⊥a3，而a3⊥a4，所以a1∥a4∥a5．同理得a5∥a8 ∥a9，a9∥a12 ∥a13，…，接着这样的规律可以得a1∥a97∥a100，所以a1∥a100． 10.【答案】 40°或140°； 11.【答案】共线，平行公理；

【解析】此题考查是平行公理，它是论证推理的基础，应熟练应用． 12.【答案】AB∥CD，GP∥HQ； 【解析】

理由：∵ AB⊥EF，CD⊥EF．∴ ∠AGE＝∠CHG＝90°．∴ AB∥CD． ∵ AB⊥EF．∴ ∠EGB＝∠2＝90°．∴ GP平分∠EGB． ∴ ∠1＝

1EGB＝45°． 2 ∴ ∠PGH＝∠1+∠2＝135°．

同理∠GHQ＝135°，∴ ∠PGH＝∠GHQ． ∴ GP∥HQ．

三、解答题 13. 【解析】

解：∠4＝100°．理由如下：

∵ ∠1＝60°，∠2＝60°， ∴ ∠1＝∠2，∴ AB∥CD 又∵∠3＝∠4＝100°，

∴ CD∥EF，∴ AB∥EF． 14．【解析】

解：如图所示，用量角器在两个边缘之间画一条线段MN，用量角器测得∠1＝50°， ∠2＝50°，因为∠1＝∠2，所以由内错角相等，两直线平行，可知画板的上下边缘是平行的．

15. 【解析】

解：要使AB′∥BD，只要∠B′AD＝∠ADB＝20°， ∠B′AB＝∠BAD+∠B′AD＝90°+20°＝110°． ∴∠BAF＝

11∠B′AB＝×110°＝55°． 2216．【解析】

解：可推出AD∥BC．

∵ BD平分∠ABC(已知)．

∴ ∠1＝∠DBC(角平分线定义)．

又∵ ∠1＝∠2(已知)，∴ ∠2＝∠DBC(等量代换)． ∴ AD∥BC(内错角相等，两直线平行)． 把∠1＝∠2改成∠DBC＝∠BDC．