机器学习和深度学习中，梯度是一个很重要的概念。在大部分机器学习优化问题中都可以通过梯度下降法处理。要介绍梯度就必须了解导数（derivative），偏导数（partial derivative）和方向导数（directional derivative）。
这些概念在高等数学中都有介绍，也可以参考百度和维基百科，这里我们就只做简单回忆：
导数反映函数
导数和偏导数性质一致，但偏导数指多元函数中函数在某点沿坐标轴（x1，x2，xn）正方向变化率。也可以理解为，导数是自变量只有一个时的函数沿正方向变化率，而偏导数则是函数自变量大于一个时，每个自变量的变化率。
导数和偏导数的定义中，都是沿坐标轴正方向讨论函数变化率，而方向导数则是：函数上某点沿某一方向上的导数值（方向可选择）。
那么引出梯度的定义：
函数在某点梯度是一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模则为方向导数的最大值。可以理解为梯度是函数在某点最大的方向导数，函数沿梯度方向有最大的变化率。
梯度的求法也很简单，对于函数
图像的梯度计算可以通过使用不同的梯度算子实现，具体实现的过程是通过用梯度算子进行卷积运算的到，不了解卷积的同学可以自行百度。。。
这里介绍几种常用的梯度算子：
Roberts交叉梯度算子（Roberts Cross Edge Detector）很好理解，就是对目标进行一个2*2的卷积核的卷积计算。卷积核有两个，分别用来计算垂直方向和水平方向，卷积核如下所示：
梯度幅值可以表示为：
为了方便计算，也可以这样计算：
梯度角度则可以表示为：
Sobel梯度算子（Sobel Edge Detector）和Roberts算子类似，只不过引用了两个3*3的卷积核，分别用来计算垂直方向和水平方向，卷积核如下所示：
梯度幅值和梯度角度也可以通过上面介绍的式子求得
Sobel算子计算速度较慢于Roberts算子，但3*3的卷积核在更大程度上平滑了输入图像，使得图像对噪声的敏感性降低。
Prewitt算子与Sobel算子类似，卷积核如下所示：
以上介绍的Roberts算子，Sobel算子和Prewitt算子都是一阶算子，而Laplace属于二阶算子。Laplace算子对噪声敏感，所以一般在降噪后的图像上使用。卷积核如下所示：
由于一阶算子的原理是计算目标点的一阶导数，由导数定义可知，x点导数可通过以下公式计算：
那么二阶算子则是计算目标点的二阶导数，可通过以下公式计算：
这也等同于(上式变量减1)：
在图像中就可以表示为：
这就是上图第一个Laplace算子的由来。为了让该算子在45度方向上也有方向性，对该算子进行扩展得到上图第二个Laplace算子。
上述算子也可用于图像的边缘检测，边缘检测和检测算子及优缺点将在接下来的文章中介绍。
参考：
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